採点表で選べば客観的、とは限らない：重みの欄を誰が埋めたか、尋ねた人はゼロだった

新しい会計ソフトを選ぶ会議だった。担当者が、二つの候補を価格と機能の二項目で採点した表を配った。

担当者は言った。「採点表で選んだので、客観的です」。

重みの欄を誰が埋めたか。尋ねた人は、ゼロ人だった。

誰も尋ねなければ、表を作った一人の前提が、そのまま会議の結論になる。

数字が並ぶ表は、それだけで客観的に見える。採点表は、どこまで客観的なのか。

点数はそのまま、重みだけで勝者はどう入れ替わるか

冒頭の表と同じ形で、試してみる。

二つの選択肢を、価格と機能の二つの評価基準で、5点満点で採点する。選択肢Aは (5, 2)、選択肢Bは (2, 5) だ。

重みを (0.8, 0.2) にする。Aは 5×0.8 + 2×0.2 = 4.4 点である。

Bは2.6点で、Aが勝つ。

重みを (0.2, 0.8) にする。Aは2.6点、Bは4.4点で、Bが勝つ。

点数は最初の表のままだ。結論を逆にしたのは、掛けた重みである。

重みを全部同じにする案も、重みの選び方の一つだ。均等な重みを掛ければ、均等な重みに合う勝者が決まる。

重みで結論が動く余地がゼロになるのは、一つの選択肢が全ての評価基準で他を上回るときだけだ。

全ての項目で勝つ候補がなければ、採点表の勝者は重みしだいで替わりうる。

合計点の正体は、内積という一つの数だ

逆転のカラクリは、算数にある。

冒頭の採点表では、価格の点数に価格の重みを掛ける。機能の点数にも、機能の重みを掛ける。

二つの積を足した数が、合計点である。

数の並びを、ベクトルと呼ぶ。二つのベクトルの対応する成分を掛けて、すべて足した一つの数が、内積（ドット積、スカラー積）だ。

二つのベクトルを、a = (a₁, a₂, …, aₙ) と b = (b₁, b₂, …, bₙ) とする。

内積は、a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ である。

内積の結果は、一つの数（スカラー）だ。

同じ数は、二つの大きさと、なす角 θ を使って、|a| |b| cos θ とも書ける。

向きがそろえば正になる。直角ならゼロだ。

仕事で出会う内積の多くは、表の形をしている。採点表の合計点は、点数の並びと重みの並びの内積である。

どの重みを掛けるかを決めた時点で、勝者はほぼ決まる。

重みの欄は、点数より先に書いて合意する

AIに採点させるときも、重みは人が渡す。

内積は、重みが決まれば合計を正確に出す。どの重みを選ぶかは、計算の外で人が決める。

公共工事の入札には、先例がある。価格と技術を合わせて採点する、総合評価落札方式だ。

国土技術政策総合研究所の手引き（2002年）は、評価の公正さを確保するため、総合評価の基準を入札公告などで予め明らかにすると書く。

手順は三つだ。

1. 評価基準を並べる。

2. 点数を付ける前に、重みを書いて合意する。

3. 重みを入れ替えて、勝者が入れ替わるかを確かめる。

AIに採点表の点検を頼むときは、次のプロンプトのかっこの中を書き換えて使う。

添付した採点表は（例：会計ソフト2案の比較。価格と機能を5点満点で採点）です。
重み：（例：価格0.8、機能0.2）
1. 重みと点数の内積で、各案の合計点を出してください。
2. 重みを（例：価格0.2、機能0.8）と（例：均等）に替えて、合計点を出し直してください。
3. 重みによって勝者が入れ替わる場合は、入れ替わる境目の重みを示してください。

重みの欄に座っていたもの

冒頭の会計ソフトの会議なら、配る採点表に、合意した重みの欄を先に載せる。

その下に、重みを入れ替えた合計点を一行足す。勝者が替わるなら、議論すべきは点数より重みである。

客観的だったのは、掛け算だけ。重みの欄に書いてあったのは、埋めた人の前提だった。

出典

• 総合評価落札方式 手引き・事例集（第1集案）2 総合評価落札方式の概要（国土交通省 国土技術政策総合研究所、2002年）

拙著『GoogleのAI NotebookLM 意思決定の強化書』の5章3節に、評価基準ごとの素点に重みを掛けて合計する採点表の作り方を書きました。読むと、合計点の順位のどこまでが計算で、どこからが重みを決めた人の意思決定なのかを分けて読めます。