80対20はパレート分布の一例にすぎず、べき分布が教えるのは平均が役に立たない世界です

80対20の法則は、会議で重点化を主張するときの決め台詞として重宝されます。けれども数式の上では、80対20はパレート分布の形状パラメータαがおよそ1.16という一点で成り立つ数字にすぎません。この記事では、パレート分布とべき分布の包含関係を確かめたうえで、べき分布が本当に教えているのは、平均とばらつきで語ること自体が成り立たない世界がある、ということだと示します。

パレート分布は、下限と決まった形を持つべき分布です

べき分布（Power law Distribution）は、確率変数Xがある値x以上となる確率が、xのべき乗に反比例する分布の総称です。αはべき指数と呼ばれる正の定数です。

べき分布:     P(X >= x) ∝ x^(-α)
パレート分布: P(X >= x) = (x_m / x)^α   （x >= x_m）
密度関数:     f(x) = α x_m^α / x^(α+1)  （x >= x_m）

パレート分布は、イタリアの経済学者ヴィルフレド・パレートにちなむ、べき分布の特殊なケースです。x_mは最小値（スケールパラメータ）、αは形状パラメータです。下限x_mという制約と決まった数式の形を持つので、パレート分布はすべてべき分布ですが、べき分布がすべてパレート分布とは限りません。一般のべき分布は、密度が x^(α+1) に反比例するという比例の形しか決まっておらず、範囲ごとに異なるべき指数を持つこともあります。

80対20は、αが約1.16のときだけの数字です

パレート分布では、上位の割合pの人が全体の何割を持つかが、p の (α−1)/α 乗で決まります。上位20%が80%を持つ、という関係が成り立つのは、αがおよそ1.16のときです。αが1.5なら上位20%の取り分は約58%、αが2なら約45%に下がります。αが1に近づくほど、ごく一部への集中は80%を超えて強まります。

つまり80対20は、法則というより、パレート分布の一つの目盛りです。自社の売上がその目盛りにあるかを確かめないまま重点化の根拠にする会議は、法則という言葉の権威だけを借りています。比率は分布のαで決まり、αはデータを見なければ分かりません。

裾が重いと、平均や分散が存在しないことがあります

パレート分布とべき分布に共通する最大の特徴は、裾が重いことです。極端に大きな値が、正規分布で想定するよりずっと高い確率で現れます。

• 期待値は α > 1 のときだけ有限。パレート分布では E[X] = αx_m / (α−1)
• 分散は α > 2 のときだけ有限。それ以下では発散する
• どちらも厳密なモーメント生成関数を持たないため、特性関数などが代わりに使われる

αが1以下なら、平均はそもそも存在しません。データを集めるたびに新しい極端な値が現れ、標本の平均はそのたびに引きずられて動き続けます。平均が存在しない分布の平均を報告書に書くのは、揺れ続けている振り子の位置を、止まった場所として記録するのと同じです。αが1と2の間なら、平均はあってもばらつきが定まらず、平均プラスマイナス標準偏差で「よくある範囲」を語る作法が成り立ちません。

両対数で直線に見えても、べき分布と決めてはいけません

見分けには対数を使います。横軸と縦軸の両方を対数にした両対数プロットで、べき分布は直線になります。パレート分布も直線ですが、x_m未満では確率が0なので、x_mで切れた直線として現れます。

• パレート分布は、最小値 x_m の選び方が結果を左右する。αが1に近いと期待値の推定が不安定になる
• パラメータは最尤法（α = n / Σlog(x_i / x_m)）やヒルの推定量で求められる
• 一般のべき分布は、べき則が始まる閾値の特定が難しい。Clauset、Shalizi、Newmanの方法で閾値とαを推定し、KS検定などで適合度を確かめる
• データの範囲が狭いと、対数正規分布との区別がつきにくい

パレート分布は、1896年にパレートが富の分配を研究する中で見いだしました。べき分布は、単語の頻度のZipfの法則、都市規模に関するアウエルバッハの研究、地震の規模のグーテンベルク・リヒター則、スケールフリーネットワークなど、複数の分野で独立に見つかってきました。生じる仕組みとしては、優先的選択（持てる者がさらに持つ効果）、自己組織化臨界現象、乗法的な過程などが挙げられ、閾値を超える値のモデル化には一般化パレート分布（GPD）が極値理論の中で使われます。ただし、ある現象が本当にべき分布に従うのか、対数正規分布のような別の分布のほうが合うのかは、データの範囲が限られるために、分野によっては今も議論が続いています。

株価の変動の裾を、平均とばらつきだけで語らない

株価の変動の裾が正規分布より重いことは、広く知られています。それがどの分布に、どこまで従うのかは、期間や市場によって結論が分かれます。分からないことが残る以上、数年に一度の急落を例外として扱うのではなく、起こりうる分布の一部として、平時のうちに自分がどう動くかを決めておくほうが筋が通ります。標準偏差で測った範囲の外は起きない、という前提は、裾が重い世界ではいちばん先に崩れる前提です。この記事は特定の銘柄や売買を勧めるものではありません。

あなたが使っている事業や投資の資料で、平均とばらつきだけで語られている数字はどれでしょうか。過去最大の値の2倍の値が明日現れたら、その平均はどれくらい動くでしょうか。

この記事の背景にある考え方は、拙著『ChatGPTではじめるAI株式投資』の6章3節「リバランスと銘柄入れ替えを判断する」に書きました。平時の調整とは別に、急落や急騰の場面での対応を事前に予行演習しておく考え方を扱い、「相場が落ち着いている時ほど、いざという時のシミュレーションが役立ちます。」と書いています。この節を読むと、裾の重さを知識で終わらせず、自分のルールのどこが極端な値に弱いのかを、平時のうちに自分で点検する視点が持てるようになります。