選択肢が爆発するのは、粒度の違う選択肢を同じ表で掛け合わせるからです

転職先を5社、それぞれの勤務地や待遇の条件を3通り、将来の展開を3通り考えると、比べる組み合わせは45になります。45通りを一枚の表に並べた瞬間、人は考えるのをやめます。この記事では、組み合わせ爆発が起きる仕組みと、計算の世界での代表的な対処法を整理したうえで、判断の場面での爆発の多くは、大方針と実行策という粒度の違う選択肢を同じ表で掛け合わせることから生まれる、と考えます。

要素が少し増えるだけで、数は桁ごと跳ね上がります

組み合わせ爆発（combinatorial explosion）は、要素の数が増えるにつれて、ありうる組み合わせや状態の数が指数関数的、あるいは階乗的に急増し、すべてを調べることが現実的にできなくなる現象です。代表的なのは部分集合と順列で、n個の要素から作れる部分集合は2のn乗、並べ方は n の階乗（n!）通りです。

要素数 n	部分集合（2のn乗）	並べ方（n の階乗）
5	32	120
10	1,024	3,628,800
20	1,048,576	2,432,902,008,176,640,000

20個の並べ方は約2.4×10の18乗、つまり約243京通りです。こうなると、すべてを書き出して確かめる総当たりは、計算機を使っても間に合いません。

確率や統計でも同じことが起きます。ベイズネットワークで変数とつながりが増えると、厳密な推論に指数時間がかかることが多くなります。隠れマルコフモデルでは、隠れ状態が n 通りで系列の長さが T なら、状態の並びは n の T 乗通りです。変数が増えると空間がすかすかになり、分布の推定に膨大なサンプルが必要になる現象は、次元の呪いと呼ばれます。巡回セールスマン問題やナップサック問題のような組み合わせ最適化の多くは、NP困難とされます。

計算の世界では、全部を調べない工夫を重ねます

組み合わせ爆発は計算量の理論から見て原理的に避けにくいため、実務では厳密な答えをあきらめ、使える答えを現実的な時間で得る工夫を重ねます。複雑な分布を扱いやすい形で置き換える変分推論や、サンプリングで見積もるMCMCのような近似。途中の結果を再利用して同じ計算を繰り返さない動的計画法（隠れマルコフモデルの前向きアルゴリズムやビタビアルゴリズムなど）。見込みのない探索の枝を早めに切る枝刈り。そして、多くのパラメータはゼロに近いと仮定する、状態をまとめる、といった前提を置いて、扱う空間を最初から小さくする方法です。

判断の爆発は、粒度の混ざった表から生まれます

冒頭の転職の例に戻ります。45通りが生まれたのは、どの会社か、という大方針と、どの条件で入るか、という実行策を、同時に掛け合わせたからです。順番に分ければ、先に5社を大方針の物差しで比べて1社に絞り、その中で条件の3通りを比べ、最後に展開の3通りを比べる。比べる回数は5と3と3で、合わせて11です。掛け算が足し算に変わります。

会議で選択肢が爆発するときも、たいてい同じことが起きています。新規事業をやるかやらないか、という議題の隣に、やるならA案とB案とC案、さらにB案なら広告をどこに出すか、が同じ表に並ぶ。その表を前に、全部の組み合わせを比べましょう、と言うのは網羅的なのではなく、議題を整理する仕事を参加者全員に配っているだけです。すべてを検討した会議ほど何も決まらないのは、検討の量が足りないからではなく、表の粒度がそろっていないからです。

ただし、順番に決めると最適を見逃すことがあります

この方法には限界があります。大方針を先に決めるやり方は、計算の世界で言えば動的計画法より枝刈りに近く、最適を保証しません。大方針と実行策が強く影響し合うとき、たとえば2位の会社の特定の条件だけが飛び抜けて良い場合、先に会社を絞るとその組み合わせを見落とします。

だから、絞る前に一つだけ確かめます。実行策の違いが、大方針の順位をひっくり返すほど大きいか。ひっくり返らないなら、順番に決めて構いません。ひっくり返りそうなら、その部分だけを組み合わせで比べます。どの程度の影響なら無視してよいかの一般的な線引きはなく、そこは判断する人の前提に委ねられます。

前提をあいまいにしたままAIに選択肢を出させると、候補が増えるだけで決め手が残りません。何について決めるのか、何のためか、譲れない制約は何か、何で良し悪しを測るのかを先に渡し、粒度をそろえた比較を頼むと、AIは比較の手間を引き受ける頼れる道具になります。

あなたがいま迷っている判断の選択肢を書き出したとき、大方針と実行策は同じ列に混ざっていないでしょうか。分けて並べ直したら、比べる数はいくつに減りますか。

この記事の背景にある考え方は、拙著『GoogleのAI NotebookLM 意思決定の強化書』の5章2節「選択肢表を作る」に書きました。優れた選択肢の条件を、粒度がそろっていることと網羅性があることの二つとし、大方針と実行策を同列に並べない理由を扱う節で、「選択肢が1つだけでは、評価して選ぶという意味での意思決定にはなりません。」とも書いています。この節を読むと、増えすぎた選択肢を、自分で比べられる数と粒度に整え直して考えられるようになります。