線形変換（せんけいへんかん、英: Linear Transformation）は、線形代数学において非常に基本的かつ重要な概念であり、ベクトル空間の構造を保ちながら一つのベクトル空間から別のベクトル空間へと「写す」写像（関数）のことを指します。専門的な視点から、線形変換の定義、性質、例、応用、さらにはその理論的背景に至るまで、詳細かつ体系的に解説します。
1. 線形変換の定義
1.1 ベクトル空間の基礎
まず、線形変換を理解するためには、ベクトル空間の基礎概念を押さえる必要があります。ベクトル空間とは、スカラー体（通常は実数体や複素数体）上で定義された集合であり、加法とスカラー倍が定義され、以下の公理を満たします。
- 加法の閉包性: 任意のベクトル \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) に対して \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) もベクトル空間内に存在する。
- スカラー倍の閉包性: 任意のベクトル \( \mathbf{v} \) とスカラー \( a \) に対して \( a\mathbf{v} \) もベクトル空間内に存在する。
- 加法の結合法則: \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)。
- 加法の交換法則: \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)。
- 加法の単位元の存在: ゼロベクトル \( \mathbf{0} \) が存在し、 \( \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \) を満たす。
- 加法の逆元の存在: 任意のベクトル \( \mathbf{v} \) に対して、 \( \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} \) が成り立つ。
- スカラー倍の結合法則: \( a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v} \)。
- スカラー倍の分配法則: \( a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v} \) および \( (a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v} \)。
1.2 線形変換の正式な定義
2つのベクトル空間 \( V \) と \( W \) が同じスカラー体 \( \mathbb{F} \)（例えば \( \mathbb{R} \) や \( \mathbb{C} \)）上で定義されているとき、写像 \( T: V \rightarrow W \) が線形変換であるとは、以下の2つの条件を満たすことを言います。
- 加法性の保持: 任意の \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) に対して、
\[
T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
\] - スカラー倍の保持: 任意のスカラー \( a \in \mathbb{F} \) と任意の \( \mathbf{v} \in V \) に対して、
\[
T(a\mathbf{v}) = aT(\mathbf{v})
\]
これらの条件から、線形変換はベクトル空間の構造（特に線形結合）を保つ写像であることがわかります。
2. 線形変換の性質
線形変換には多くの興味深い性質があり、これらはベクトル空間の理論や応用において非常に重要です。以下に主要な性質を挙げ、詳しく説明します。
2.1 カーネルと像
- カーネル（核）: 線形変換 \( T: V \rightarrow W \) のカーネル \( \ker(T) \) は、\( T \) によってゼロに写される \( V \) の全てのベクトルからなる部分空間です。
\[
\ker(T) = { \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} }
\]
カーネルは \( T \) の「非可逆性」を示す指標であり、カーネルが \({\mathbf{0}}\) のみである場合、\( T \) は単射（1対1写像）であると言えます。 - 像（イメージ）: 線形変換 \( T: V \rightarrow W \) の像 \( \mathrm{Im}(T)\) は、\( T \) によって写される \( V \) の全てのベクトルの集合です。
\[
\mathrm{Im}(T) = { T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V }
\]
像は \( W \) の部分空間を形成し、\( T \) の「到達可能性」を示します。
2.2 次元定理（ランク・ヌルリティ定理）
線形変換 \( T: V \rightarrow W \) が有限次元ベクトル空間 \( V \) と \( W \) の間で定義されている場合、以下の等式が成り立ちます。
\[
\dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\mathrm{Im}(T))
\]
この等式は「次元定理」または「ランク・ヌルリティ定理」と呼ばれ、線形変換のカーネルと像の次元の関係を示しています。ここで、\(\dim(\mathrm{Im}(T))\) を「ランク（rank）」、\(\dim(\ker(T))\) を「ヌルリティ（nullity）」と呼びます。
2.3 合成と逆変換
- 合成: 2つの線形変換 \( T: U \rightarrow V \) と \( S: V \rightarrow W \) の合成 \( S \circ T: U \rightarrow W \) も線形変換です。つまり、線形変換同士の合成は再び線形変換となります。
- 逆変換: 線形変換 \( T: V \rightarrow W \) が全単射（単射かつ全射）である場合、逆写像 \( T^{-1}: W \rightarrow V \) も線形変換です。このとき、\( T \) は「線形同型（linear isomorphism）」と呼ばれ、\( V \) と \( W \) は線形同型であるといいます。
2.4 自己同型と固有値
- 自己同型: 線形変換 \( T: V \rightarrow V \) の場合、特に注目すべきは自己同型（自己写像）です。自己同型は \( V \) 自身の構造を保持する変換であり、線形代数学や幾何学における対称性の研究において重要な役割を果たします。
- 固有値と固有ベクトル: 自己同型 \( T: V \rightarrow V \) に対して、非ゼロベクトル \( \mathbf{v} \) とスカラー \( \lambda \) が存在して \( T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v} \) を満たすとき、\( \mathbf{v} \) を固有ベクトル、\( \lambda \) を固有値と呼びます。固有値問題は、線形変換の性質を解析する上で基本的なツールです。
3. 線形変換の具体例
具体的な例を通して、線形変換の概念をより深く理解しましょう。
3.1 ベクトルのスケーリング
最も基本的な線形変換の一つにスケーリングがあります。例えば、\( \mathbb{R}^2 \) におけるスケーリング変換 \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) を考えます。スケーリング変換は、各ベクトルの成分を一定のスカラー倍する操作です。
\[
T\left( \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} a x \ b y \end{bmatrix}
\]
ここで、\( a \) と \( b \) はスカラーです。この変換は線形変換の定義を満たします。なぜなら、加法性とスカラー倍の保持が明らかに成立するからです。
3.2 回転変換
2次元空間における回転変換も線形変換の一例です。角度 \( \theta \) だけ回転させる変換 \( R_\theta: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) は、次のような行列で表されます。
\[
R_\theta = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\]
任意のベクトル \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \) に対して、
\[
R_\theta \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x \cos \theta – y \sin \theta \
x \sin \theta + y \cos \theta
\end{bmatrix}
\]
この変換も線形変換です。回転変換は2次元ベクトル空間の幾何的性質を保持しつつ、ベクトルの方向を変える操作を表します。
3.3 行列による線形変換
任意の線形変換 \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) は、\( m \times n \) の行列 \( A \) を用いて表現することができます。具体的には、
\[
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}
\]
ここで、\( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \) は列ベクトル、\( A \) は \( m \times n \) の行列です。この表現により、線形変換の解析や計算が行列演算として取り扱われるようになります。
例: \( \mathbb{R}^3 \) から \( \mathbb{R}^2 \) への射影
例えば、3次元空間 \( \mathbb{R}^3 \) から2次元空間 \( \mathbb{R}^2 \) への射影変換 \( P: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) は、次の行列で表されます。
\[
P = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]
任意のベクトル \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \) に対して、
\[
P(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}
\]
これは \( \mathbb{R}^3 \) のベクトルを \( xy \)-平面上に射影する操作であり、線形変換の一例です。
3.4 微分作用素
関数空間における微分作用素も線形変換の例です。例えば、関数空間 \( C^\infty(\mathbb{R}) \)（無限回微分可能な関数の空間）における微分作用素 \( D: C^\infty(\mathbb{R}) \rightarrow C^\infty(\mathbb{R}) \) は、任意の関数 \( f(x) \) に対して、
\[
D(f) = f’
\]
と定義されます。微分作用素は線形性を持つため、線形変換の性質を満たします。
4. 線形変換と行列の関係
線形変換と行列の関係は、線形代数学の中心的なテーマです。以下にその詳細を説明します。
4.1 基底と座標表示
ベクトル空間 \( V \) と \( W \) における基底をそれぞれ \( \mathcal{B} = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n} \) と \( \mathcal{C} = {\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_m} \) とします。このとき、線形変換 \( T: V \rightarrow W \) を行列で表現するには、基底 \( \mathcal{B} \) の各ベクトルに対する \( T \) の像を \( \mathcal{C} \) の基底で表現し、その係数を列として並べた行列 \( A \) を用います。
具体的には、
\( T(\mathbf{v}_j) = a_{1j}\mathbf{w}_1 + a_{2j}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{mj}\mathbf{w}_m \)
と表せる \( a_{ij} \) を用いて、
\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
と構成します。この行列 \( A \) は、基底 \( \mathbf{B} \) から \( \mathbf{C} \) への線形変換 \( T \) の座標表示です。
4.2 変換行列の計算
線形変換の行列表現を求める具体的な手順は以下の通りです。
- 基底の選択: ベクトル空間 \( V \) と \( W \) の基底 \( \mathbf{B} \) と \( \mathbf{C} \) を選びます。
- 基底ベクトルの写像: \( T \) を基底 \( \mathbf{B} \) の各ベクトルに適用し、その像を \( \mathbf{C} \) の基底で表現します。
- 行列の構成: 各基底ベクトルの像の座標を列として並べ、行列 \( A \) を構成します。
例: \( \mathbb{R}^2 \) から \( \mathbb{R}^3 \) への線形変換
例えば、基底 \( \mathbf{B} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \right\} \) を持つ \( \mathbb{R}^2 \) から、基底 \( \mathbf{C} = \left\{ \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \right\} \) を持つ \( \mathbb{R}^3 \) への線形変換 \( T \) を考えます。例えば、
\[
T\left( \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}, \quad T\left( \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{bmatrix}
\]
と定義されているとします。このとき、行列 \( A \) は、
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 4 \
2 & 5 \
3 & 6
\end{bmatrix}
\]
となり、任意の \( \mathbb{R}^2 \) のベクトル \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \) に対して、
\[
T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{bmatrix}
1 & 4 \
2 & 5 \
3 & 6
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x + 4y \
2x + 5y \
3x + 6y
\end{bmatrix}
\]
と計算されます。
4.3 行列の種類と線形変換
線形変換を表す行列には様々な種類があり、それぞれ異なる性質を持ちます。以下にいくつかの代表的な行列と対応する線形変換を示します。
- 対角行列: 対角行列は、対角成分以外がゼロである行列です。対角行列による線形変換は、各基底ベクトルに対して独立にスケーリングを行います。特に、すべての対角成分が同じ場合は、同一スカラー倍（均等スケーリング）となります。
- 正方行列と逆行列: 正方行列（行数と列数が同じ行列）は、線形変換が同じ次元のベクトル空間間で定義されることを意味します。正則（逆行列が存在する）正方行列は、線形変換が同型（線形同型）であることを示します。
- 上三角行列・下三角行列: 上三角行列や下三角行列は、行列の特定の部分がゼロである行列です。これらの行列は、ガウスの消去法などの線形代数の手法において重要な役割を果たします。
- 対称行列・斉次行列: 対称行列は転置行列と一致する行列であり、斉次行列は特定の対称性を持つ行列です。これらは、固有値問題や二次形式の研究において重要です。
4.4 行列のランクと線形変換
行列のランクは、行列によって生成される列空間（または行空間）の次元を示します。線形変換 \( T: V \rightarrow W \) を表す行列 \( A \) のランクは、線形変換 \( T \) の像 \( \mathrm{Im}(T) \) の次元に一致します。ランクは線形変換の「情報量」を測る指標であり、高ランクの行列はより多くの情報を保持しています。
5. 線形変換の応用
線形変換は数学の多くの分野だけでなく、物理学、工学、コンピュータ科学など多岐にわたる応用分野で重要な役割を果たします。以下に主要な応用例を挙げます。
5.1 コンピュータグラフィックス
コンピュータグラフィックスでは、オブジェクトの回転、スケーリング、平行移動などの変換が必要です。これらの変換はすべて線形変換またはアフィン変換として表現されます。特に、3次元空間での視覚効果を実現するために、行列演算を用いた効率的な計算が行われます。
5.2 信号処理
信号処理では、信号のフィルタリングや変換（例えばフーリエ変換、ラプラス変換）が線形変換としてモデル化されます。これにより、信号の解析や操作が行列や行列式を用いて行いやすくなります。
5.3 機械学習とデータ解析
機械学習アルゴリズム、特に線形回帰や主成分分析（PCA）などは、線形変換の概念に基づいています。データセットの次元削減や特徴抽出において、線形変換はデータの構造を理解しやすくするために用いられます。
5.4 物理学
物理学では、線形変換は座標系の変換や量子力学における状態変換など、様々な場面で現れます。特に、線形性は多くの物理法則が線形で表現されるため、理論の基礎となっています。
5.5 経済学と統計学
経済学では、生産関数や投入・産出の関係を線形変換としてモデル化することがあります。また、統計学では、線形回帰モデルや因子分析などで線形変換が利用されます。
6. 理論的背景と高度な概念
線形変換の理解を深めるためには、さらに高度な理論的概念を学ぶ必要があります。以下にその一部を紹介します。
6.1 線形同型とベクトル空間の分類
2つのベクトル空間が線形同型であるとは、一方の空間から他方の空間への線形同型写像（線形変換であり、全単射であるもの）が存在することを意味します。線形同型は、ベクトル空間の構造が本質的に同じであることを示し、ベクトル空間の分類において重要です。
6.2 内積空間と直交変換
内積空間における線形変換は、追加の構造（内積の保持）を持ちます。直交変換は、内積を保持する線形変換であり、ベクトルの長さや角度を保ちます。直交変換は回転や反射など、幾何学的な対称性を表現するのに用いられます。
6.3 線形変換の対角化
ある線形変換 \( T: V \rightarrow V \) が対角化可能であるとは、基底を選ぶことで \( T \) を対角行列として表現できることを意味します。対角化可能な線形変換は、固有値と固有ベクトルを持ち、計算や解析が容易になります。対角化の理論は、線形代数学の中心的なテーマの一つです。
6.4 ジョルダン標準形
すべての線形変換が対角化可能であるわけではありませんが、ジョルダン標準形を用いることで、任意の線形変換をほぼ対角化された形で表現することができます。ジョルダン標準形は、固有値とジョルダンブロックを用いて線形変換の構造を詳細に記述します。
6.5 テンソルと多線形代数
線形変換は、テンソルの一種として理解することもできます。多線形代数では、テンソルは多次元の線形写像を表現するものであり、線形変換の一般化と考えることができます。テンソルの理論は、物理学や工学、データ科学などで広く応用されています。
6.6 関手としての線形変換
カテゴリ理論において、線形変換は関手の一種として捉えることができます。これは、線形変換がベクトル空間のカテゴリから別のカテゴリへの射を表すものであり、より抽象的な数学的構造の中で線形変換を位置づける方法です。
7. 線形変換の証明技法と重要な定理
線形変換に関する重要な定理や証明技法についても理解を深めることが求められます。以下に主要なものを紹介します。
7.1 線形変換の基底選びによる簡約化
線形変換の解析において、適切な基底を選ぶことは非常に有効です。例えば、線形変換を対角化可能な基底で表現できれば、その変換の性質を容易に把握することができます。また、グラム・シュミットの正規直交化法を用いて、内積空間における直交基底を構築することも重要です。
7.2 ランキングとカーネルの計算
線形変換のランクやカーネルの計算は、行列の基本的な性質を理解する上で不可欠です。行列の基本変形や階段行列への変換を用いて、ランクやカーネルの次元を効果的に求める方法が確立されています。
7.3 線形変換の逆変換の条件
線形変換が逆変換を持つための条件は、行列が正則（逆行列を持つ）であることに帰着します。これには、行列の行列式がゼロでないこと、列ベクトルが線形独立であること、などの条件が関与します。これらの条件を理解することは、線形代数の基本的なテーマです。
7.4 スペクトル定理
スペクトル定理は、特定の条件下で線形変換を対角化できることを保証する重要な定理です。具体的には、有限次元の実内積空間における対称線形変換や、有限次元の複素内積空間におけるエルミート線形変換は、直交基底を持ち、その基底における行列表示が対角行列となります。スペクトル定理は、物理学や工学における固有値問題の解決において重要です。
7.5 リニアマップのイメージと核の詳細解析
線形変換のイメージと核を詳細に解析することは、変換の構造を理解する上で重要です。例えば、核の次元（ヌルリティ）とイメージの次元（ランク）との関係を探ることで、線形変換の性質や可能な変換の種類を明らかにすることができます。
7.6 双対空間と双対写像
ベクトル空間の双対空間は、線形変換の理論をさらに一般化する概念です。任意のベクトル空間 \( V \) に対して、その双対空間 \( V^* \) は、\( V \) からスカラー体への線形写像全体の空間です。線形変換 \( T: V \rightarrow W \) に対して、双対写像 \( T^: W^ \rightarrow V^* \) が定義され、双対空間間の線形変換として機能します。この概念は、特に解析学や微分幾何学において重要です。
8. 線形変換の高度な応用例
さらに高度な応用例として、以下のようなものがあります。
8.1 フーリエ変換と線形変換
フーリエ変換は、信号処理や解析学において重要な線形変換です。信号を周波数成分に分解する操作であり、無限次元の関数空間における線形変換として定式化されます。フーリエ変換は、微分作用素や畳み込み積分と深い関連があります。
8.2 線形微分方程式の解法
線形微分方程式の解法には、線形変換の理論が不可欠です。特に、線形変換を用いることで、微分方程式の解空間の構造を理解し、基底解を構成することが可能となります。例えば、線形常微分方程式の係数行列の固有値解析は、解の振る舞いを予測するために用いられます。
8.3 最適化問題と線形変換
線形変換は、最適化問題においても重要な役割を果たします。線形計画法や二次計画法では、制約条件や目的関数が線形変換として表現され、これに基づいて最適解を求めます。さらに、線形代数の理論を用いることで、最適化アルゴリズムの効率性や収束性を解析することが可能です。
8.4 データ圧縮と次元削減
データ圧縮や次元削減の技術（例えば主成分分析、PCA）は、線形変換を用いて高次元データを低次元に写像する手法です。これにより、データの情報量を保ちながら、計算効率を向上させたり、可視化を容易にしたりすることが可能となります。
9. 線形変換の歴史的背景と数学的意義
線形変換の概念は、線形代数学の発展とともに形成されてきました。古代から続くベクトルの研究は、線形変換の基礎となり、19世紀から20世紀にかけて、行列理論や抽象的なベクトル空間の概念が確立される中で、線形変換の理論は飛躍的に発展しました。
9.1 行列の発展と線形変換
行列の理論は、線形変換の理解を深める上で不可欠なツールとして発展してきました。ガウスの消去法や行列式の概念の確立により、線形変換の解法や解析が効率的に行えるようになりました。さらに、エルミート行列やユニタリ行列など、特定の性質を持つ行列の研究は、線形変換の分類や応用に寄与しました。
9.2 抽象化と一般化
20世紀に入ると、線形変換の概念は抽象化され、無限次元のベクトル空間や関数空間にまで拡張されました。これは、解析学や量子力学、機能解析などの分野において、線形変換が基本的な構造として位置づけられるようになったことを示しています。抽象代数学の枠組みの中で、線形変換は群や環、体といった他の代数的構造との相互関係を理解するための鍵となります。
9.3 現代数学における位置づけ
現代数学において、線形変換は様々な分野で基礎的かつ応用的な役割を果たしています。カテゴリ理論やホモロジー代数などの高度な理論においても、線形変換の概念は不可欠です。また、現代の数学的モデルや理論の多くは、線形代数の枠組みを基盤として構築されています。
10. まとめ
線形変換は、ベクトル空間の構造を保ちながら別のベクトル空間へと写す写像であり、線形代数学の中心的な概念です。線形変換の理論は、行列の理論、基底と座標の概念、カーネルと像の性質、ランク・ヌルリティ定理など、豊富な数学的概念と深く結びついています。さらに、線形変換はコンピュータグラフィックス、信号処理、機械学習、物理学など多岐にわたる応用分野で不可欠なツールとして活用されています。
線形変換の理解を深めることは、数学的な理論の探求だけでなく、実世界の問題解決にも大いに役立ちます。線形代数学の基礎をしっかりと理解し、線形変換の性質や応用を学ぶことで、より高度な数学的概念や技術を習得するための礎を築くことができます。
