ベクトルの内積

ベクトルの内積（ないせき）、またはドット積は、線形代数学や物理学、工学など多くの分野で基本的かつ重要な概念です。以下では、ベクトルの内積について解説します。

1. ベクトルの基礎知識

1.1 ベクトルとは

ベクトル（Vector）は、大きさ（長さ）と方向を持つ量です。物理学では、力や速度、加速度などがベクトルとして表現されます。数学では、ベクトルは数の並びとして定義されることが一般的で、n次元空間ではn個の成分を持ちます。

例えば、2次元空間のベクトルは以下のように表されます：
\[ \mathbf{a} = (a_1, a_2) \]

3次元空間では：
\[ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \]

1.2 ベクトルの表記方法

ベクトルは、太字の小文字（\(\mathbf{a}\)）、矢印付きの小文字（\(\vec{a}\)）、または成分を括弧や角括弧で囲んだ形（\((a_1, a_2)\)）で表されます。文脈に応じて使い分けられます。

2. 内積（ドット積）とは

内積（内積積、ドット積、またはスカラー積）は、2つの同じ次元のベクトルに対して定義される演算であり、結果としてスカラー（数値）を得るものです。内積はベクトルの相対的な方向や大きさを表す重要な指標です。

2.1 内積の定義

n次元空間における2つのベクトル \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) と \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)\) の内積は以下のように定義されます：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \]

例えば、2次元ベクトル (\mathbf{a} = (a_1, a_2)) と (\mathbf{b} = (b_1, b_2)) の内積は：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

2.2 内積の幾何学的定義

内積は、ベクトルの大きさとその間の角度を用いて以下のようにも表現されます：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \]

ここで、

\(|\mathbf{a}|\) はベクトル \(\mathbf{a}\) のノルム（大きさ）
\(|\mathbf{b}|\) はベクトル \(\mathbf{b}\) のノルム
\(\theta\) はベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) のなす角

この定義は、内積がベクトル間の角度に依存することを示しています。特に、ベクトルが直交している（すなわち、角度が90度）場合、内積はゼロになります。

3. 内積の性質

内積には以下のような重要な性質があります：

3.1 交換法則

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \]

内積は交換可能です。

3.2 分配法則

\[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \]

内積はベクトルの加法に対して分配的です。

3.3 スカラー倍との関係

\[ (k \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \]

スカラー倍したベクトルとの内積は、元の内積にそのスカラーを掛けたものになります。

3.4 ノルムとの関係

ベクトルの内積を用いて、ベクトルのノルム（長さ）を計算できます：

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \]

これは、ユークリッドノルム（2ノルム）と呼ばれます。

3.5 Cauchy-Schwarzの不等式

任意のベクトル \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) に対して、

\[ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \]

これは、内積の絶対値がベクトルのノルムの積以下であることを示しています。

3.6 三角不等式

ベクトルのノルムに関して、

\[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \]

内積を利用して証明されます。

4. 内積の幾何学的解釈

内積は、ベクトル間の角度や直交性（直交性）を理解する上で重要な役割を果たします。

4.1 角度の計算

内積の定義より、ベクトル間の角度 \(\theta\) は以下のように求められます：

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

これにより、ベクトル間の角度を計算できます。

4.2 直交性

2つのベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) が直交している（垂直である）とは、\(\theta = 90^\circ\) であり、内積がゼロになることを意味します。

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \quad \text{（直交の場合）} \]

4.3 射影

ベクトル \(\mathbf{a}\) をベクトル \(\mathbf{b}\) に射影したものは、内積を用いて次のように表されます：

\[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b} \]

これは、\(\mathbf{a}\) の \(\mathbf{b}\) 方向への成分を示します。

5. 内積の計算例

具体的な計算例を通じて、内積の理解を深めましょう。

5.1 2次元ベクトルの内積

ベクトル \(\mathbf{a} = (3, 4)\) と \(\mathbf{b} = (2, -1)\) の内積を求めます。

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 – 4 = 2 \]

5.2 3次元ベクトルの内積

ベクトル \(\mathbf{c} = (1, 0, -1)\) と \(\mathbf{d} = (2, 3, 4)\) の内積を計算します。

\[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 1 \times 2 + 0 \times 3 + (-1) \times 4 = 2 + 0 – 4 = -2 \]

5.3 内積と角度の関係

ベクトル \(\mathbf{a} = (1, 0)) と (\mathbf{b} = (0, 1)\) の内積を計算します。

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0 \]

これは、\(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) が直交していることを示しています。

6. 内積の応用

内積は多岐にわたる応用があります。以下に代表的なものを挙げます。

6.1 ベクトルの直交判定

2つのベクトルの内積がゼロであれば、それらのベクトルは直交していることが分かります。これは、図形の解析や信号処理などで頻繁に利用されます。

6.2 射影の計算

内積を用いて、あるベクトルを他のベクトルに射影することができます。これは、最小二乗法や最適化問題で重要な役割を果たします。

6.3 物理学における仕事の計算

物理学では、力 \(\mathbf{F}\) と変位 \(\mathbf{d}\) の内積が仕事 \(W\) として表されます：

\[ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \]

力が変位に対してどの程度貢献したかを示します。

6.4 機械学習とデータ分析

機械学習では、内積はコサイン類似度や線形回帰、ニューラルネットワークの重み計算などにおいて基本的な役割を担います。

6.5 幾何学とコンピュータグラフィックス

内積は、光の反射や陰影の計算、3Dモデリングにおける角度の計算など、コンピュータグラフィックスの多くの側面で利用されます。

7. 内積の計算方法の詳細

7.1 コンポーネントごとの積

内積は各対応する成分の積の総和として計算されます。具体的には、n次元ベクトル \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) の内積は：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \]

この方法は計算が簡単で、プログラムによる計算にも適しています。

7.2 行列による内積

内積は行列演算としても表現できます。ベクトルを列ベクトルとして扱い、片方を転置することで、内積は行列積として計算されます。

例えば、\(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) を列ベクトルとすると、

\[ \mathbf{a}^T \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \]

これは、内積を行列積として視覚的に理解するのに役立ちます。

7.3 直交基底を用いた計算

直交基底（オーソゴナル基底）を用いることで、内積の計算が容易になります。直交基底では、異なる基底ベクトル間の内積がゼロになります。

例えば、直交基底 \({\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n}\) において、

\[ \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j, \ 0 & \text{if } i \neq j. \end{cases} \]

この性質を利用して、ベクトルの内積を効率的に計算できます。

8. 内積と他のベクトル演算との関係

8.1 外積（クロス積）

内積とは異なり、外積（クロス積）は3次元空間における2つのベクトルから別のベクトルを生成する演算です。内積がスカラーを返すのに対し、外積は新たなベクトルを返します。内積と外積はそれぞれ異なる性質と用途を持ち、ベクトル解析において互いを補完する役割を果たします。

8.2 ベクトル積（積和演算）

ベクトルの内積は、ベクトル積とも呼ばれることがありますが、文脈により異なる意味を持つため注意が必要です。一般的には、内積はスカラー積、外積はベクトル積と区別されます。

8.3 テンソル積

内積はテンソル積の一部としても捉えられます。テンソル積はより高次の構造を扱うもので、内積はその中でも特にスカラー結果を持つケースです。

9. 内積の証明

ここでは、内積の交換法則と分配法則を証明します。

9.1 交換法則の証明

交換法則は、内積がベクトルの順序に依存しないことを示しています。

証明：
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \sum_{i=1}^{n} b_i a_i = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \]

よって、
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \]
が成り立ちます。

9.2 分配法則の証明

分配法則は、内積がベクトルの加法に対して線形であることを示します。

証明：
\[
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \sum_{i=1}^{n} a_i (b_i + c_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{i=1}^{n} a_i c_i = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}
\]

よって、
\[
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}
\]
が成り立ちます。

10. 内積の一般化

10.1 複素ベクトル空間における内積

実数ベクトル空間における内積は、複素数を含むベクトル空間にも拡張できます。複素ベクトル空間では、内積は共役線形（複素共役を取る）で定義されます。

例えば、複素ベクトル \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n)\) と \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)\) の内積は：

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i \overline{v_i} \]

ここで、\(\overline{v_i}\) は \(v_i\) の複素共役です。

10.2 ユークリッド空間以外での内積

他の内積空間、例えばリーマン幾何学における計量テンソルを用いた内積など、より一般的な内積の概念も存在します。これにより、非ユークリッド空間や曲がった空間におけるベクトルの内積が定義されます。

11. 内積を用いた重要な定理

11.1 コーシー・シュワルツの不等式

任意のベクトル \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) に対して、

\[ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \]

この不等式は、内積の絶対値がベクトルのノルムの積以下であることを示します。等号は、\(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) が線形従属（すなわち、同じ方向または反対方向）である場合に成立します。

証明の概要：

コーシー・シュワルツの不等式は、次のようにして証明できます。

ベクトル \(\mathbf{a}\) と\(\mathbf{b}\) を用いて、任意の実数 (t) に対して非負の二乗ノルムを考える：
\[ |\mathbf{a} – t\mathbf{b}|^2 \geq 0 \\\]
これを展開すると：
\[ (\mathbf{a} – t\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} – t\mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} – 2t \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + t^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \geq 0 \]
これは二次不等式：
\[ |\mathbf{b}|^2 t^2 – 2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) t + |\mathbf{a}|^2 \geq 0 \]
この不等式が全ての (t) で成立するためには、判別式が非正でなければなりません：
\[ [2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})]^2 – 4 |\mathbf{b}|^2 |\mathbf{a}|^2 \leq 0 \]
\[ 4 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 – 4 |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 \leq 0 \]
\[ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \leq |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 \]
よって、
\[ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \]
が成り立ちます。

11.2 ベクトルの直交性と内積

2つのベクトルが直交していることは、内積がゼロであることと同値です。この性質は、直交座標系の構築や直交投影の計算などに利用されます。

12. 内積の計算アルゴリズム

12.1 手計算による方法

内積を手計算する際の手順は以下の通りです：

2つのベクトルが同じ次元であることを確認する。
対応する成分同士を掛け合わせる。
すべての積を合計する。

例：

ベクトル \(\mathbf{a} = (2, 3, 4)) と (\mathbf{b} = (1, 0, -1)\) の内積を計算します。

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times (-1) = 2 + 0 – 4 = -2 \]

12.2 プログラムによる計算

多くのプログラミング言語や数学ソフトウェアでは、内積を計算するための関数が用意されています。以下に、Pythonを用いた例を示します。

# Pythonによる内積の計算例
def dot_product(a, b):
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("ベクトルの次元が一致しません。")
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

# 使用例
a = [2, 3, 4]
b = [1, 0, -1]
result = dot_product(a, b)
print(result)  # 出力: -2

12.3 NumPyを用いた内積計算

Pythonの数値計算ライブラリNumPyを使用すると、内積の計算が効率的に行えます。

import numpy as np

a = np.array([2, 3, 4])
b = np.array([1, 0, -1])
result = np.dot(a, b)
print(result)  # 出力: -2

13. 内積の拡張と一般化

13.1 双線形形式

内積は、双線形形式の一例です。双線形形式とは、2つの引数を取り、線形性を持つ関数のことです。内積は対称であり、正定値であるため、特定の性質を持つ双線形形式となります。

13.2 ユークリッド空間の内積

ユークリッド空間では、内積が標準的な内積として定義されますが、他の内積空間では異なる内積が定義されることもあります。例えば、重み付き内積や異なる基底を用いた内積などがあります。

13.3 有限次元と無限次元の内積空間

有限次元のベクトル空間における内積は、上述したように成分ごとの積の和として定義されます。しかし、無限次元のヒルベルト空間などでは、内積は積分などを用いて定義されます。

例：

関数空間 \( L^2([a, b]) \) における内積は以下のように定義されます：

\[ \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \, dx \]

14. 内積の歴史的背景

ベクトルの内積の概念は、19世紀の数学者たちによって発展しました。特に、エウクレイデスの幾何学における直交性の概念や、ガウスの正規分布における内積の応用がその基盤となっています。線形代数学の発展とともに、内積はベクトル空間の解析や応用に不可欠なツールとして確立されました。

15. 内積の実際の応用例

15.1 コンピュータビジョンと画像処理

画像認識やパターン認識において、内積は特徴ベクトル間の類似度を計算するために使用されます。例えば、コサイン類似度は内積を基にして計算され、文書や画像の類似度評価に利用されます。

15.2 信号処理

信号の解析やフィルタリングにおいて、内積は信号とフィルタの畳み込みや相関を計算するために使用されます。特に、フーリエ変換やウェーブレット変換などの領域で重要な役割を果たします。

15.3 機械学習と人工知能

ニューラルネットワークでは、ニューロン間の接続強度（重み）と入力データとの内積を計算し、活性化関数を通じて出力を生成します。また、サポートベクターマシン（SVM）などのアルゴリズムでも内積が核関数として使用されます。

15.4 経済学と統計学

統計的な分析や回帰分析において、内積は変数間の相関や共分散を計算するために利用されます。また、ポートフォリオ理論においても、資産間の相関を内積を用いて評価します。

15.5 ロボティクスと制御理論

ロボットの動作計画や制御システムの設計において、内積はベクトルの方向や角度を評価するために使用されます。例えば、ロボットアームの運動制御では、目標位置との角度調整に内積が利用されます。

16. 内積と線形代数の関係

内積は線形代数の中心的な概念の一つであり、以下のような線形代数のテーマと密接に関連しています。

16.1 直交基底と正規基底

内積を用いて、ベクトル空間の基底を直交化することができます。グラム・シュミットの正規直交化法は、任意の基底を直交基底に変換する方法です。直交基底を用いると、ベクトルの座標計算や内積の計算が容易になります。

16.2 ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は、無限次元の内積空間であり、量子力学や関数解析において重要な役割を果たします。内積はヒルベルト空間の構造を定義する基本的な演算です。

16.3 固有値問題

行列の固有値問題において、内積は重要な役割を果たします。特に、対称行列やエルミート行列の固有値は、内積を用いた正規直交基底によって簡単に求められます。

16.4 特異値分解（SVD）

特異値分解は、行列を内積の観点から分解する手法であり、データ圧縮やノイズ除去などに応用されます。SVDでは、行列の特異ベクトルが内積を基にして計算されます。

17. 内積の拡張概念

17.1 外積との違い

内積はスカラー量を生成する演算であり、ベクトルの方向や大きさに関する情報を提供します。一方、外積はベクトルを生成する演算であり、2つのベクトルが張る平面に垂直な新たなベクトルを生み出します。内積と外積は、それぞれ異なる用途と性質を持ち、ベクトル解析において補完的な役割を果たします。

17.2 内積のテンソル一般化

テンソル解析では、内積はより高次のテンソルに一般化されます。内積の概念は、テンソルの多重積として拡張され、より複雑な多次元データの解析に利用されます。

18. 内積と代数的構造

内積はベクトル空間の内在的な性質を表すものであり、ベクトル空間における幾何学的構造を決定します。具体的には、内積によって定義される距離や角度は、ベクトル空間の幾何学的性質を規定します。

18.1 内積空間

内積が定義されたベクトル空間は、内積空間と呼ばれます。内積空間では、内積に基づいてノルムや距離、角度が定義され、これらの概念がベクトル空間の解析に利用されます。

18.2 正定値対称双線形形式

内積は、正定値で対称な双線形形式として数学的に定義されます。これにより、内積はベクトル空間の測地学や最適化理論において重要な役割を果たします。

19. 内積の概念の拡張

19.1 マルチベクトル内積

マルチベクトル代数学では、複数のベクトル間の内積を一般化した概念が存在します。例えば、テンソル内積や外積との組み合わせによって、より複雑な演算が可能になります。

19.2 多様体上の内積

リーマン多様体などの曲がった空間上では、内積は計量テンソルを用いて定義されます。これにより、曲面上のベクトルの内積や距離が定義され、微分幾何学の基礎を形成します。

20. まとめ

ベクトルの内積は、ベクトル空間における基本的かつ強力な演算であり、幾何学的な直感と代数的な計算の両方において重要な役割を果たします。内積は、ベクトル間の角度や長さの関係を理解するための基盤を提供し、多くの数学的理論や応用分野で不可欠なツールとして利用されています。内積の深い理解は、線形代数学の他の概念や応用を理解する上で不可欠であり、数学や工学、物理学など多岐にわたる分野でその有用性が証明されています。

内積の概念をマスターすることで、複雑なベクトル空間の構造を解析し、多次元データの処理や最適化問題の解決、物理現象のモデル化など、幅広い応用に対応できるようになります。継続的な学習と実践を通じて、内積の理解をさらに深めていくことが推奨されます。

参考文献

線形代数学入門 – 著者: 吉田正弘
計算機のための線形代数 – 著者: Kenneth Hoffmann, Ray Kunze
微分幾何学と内積 – 著者: Sheldon Axler
機械学習のための線形代数 – 著者: Gilbert Strang

これらの参考文献を通じて、さらに深い理解を得ることができます。

終わりに

本解説では、ベクトルの内積に関する基本的な定義から応用、さらにはその歴史的背景や数学的な一般化まで幅広くカバーしました。内積の理解は、線形代数学のみならず、様々な科学技術分野での応用において不可欠です。ぜひ、ここで述べた内容を基に、さらに深い学習と実践を続けてください。