古典論理では、以下の三大原理が基礎となっています：
1. 同一律（Law of Identity）
- 命題はそれ自体と同一である。
- AはAである。
- 記号的には：
A ⇒ A - ➤ 何かを述べるためには、それが何であるかをはっきりさせる必要があるという原理。
2. 無矛盾律（Law of Non-Contradiction）
- AでありかつAでないということはあり得ない。
- ¬(A ∧ ¬A)
- ➤ 一つの命題が同時に真であり偽であることはない。
3. 排中律（Law of the Excluded Middle）
- 命題Aについて、「Aが真」か「Aが偽」かのいずれかである。
- A ∨ ¬A
- ➤ 真理値は「真」か「偽」の2値のみ（2値論理）。
◆ 形式体系での公理や推論規則（命題論理の例）
古典命題論理（Classical Propositional Logic）を構築する際には、
以下のような「原理」（＝公理 + 推論規則）を定めます。
◉ よく使われる公理スキーマ（Hilbert系など）
A → (B → A)(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))(¬A → ¬B) → ((¬A → B) → A)
※ これらは公理スキーマであり、A, B, C には任意の命題が入る
◉ 基本的な推論規則（Modus Ponens など）
- Modus Ponens（肯定的三段論法）
A, A → B ⊢ B - Double Negation（否定の否定）
¬¬A ⊢ A
◆ 古典論理の特性
| 特性 | 説明 |
|---|---|
| 2値性 | 命題の真理値は「真」か「偽」のみ |
| 真理関数性 | 複合命題の真理値は構成要素の真理値から決まる |
| 演繹的整合性 | 無矛盾な体系であれば、偽を導くことはできない |
| 完全性 | すべての論理的に真な命題は証明可能である（ゲーデル以前の前提） |
◆ 補足：非古典論理との違い
| 項目 | 古典論理 | 非古典論理の例 |
|---|---|---|
| 排中律 | 採用する | 拒否する（直観主義論理など） |
| 真理値 | 2値（true/false） | 3値・多値・確率的など |
| 対象 | 数学的命題全般 | 実世界・不確実性・時間などを扱う拡張論理 |
◆ まとめ
✅ 古典論理は、**「同一律」「無矛盾律」「排中律」**という三大原理を土台とし、
それらに基づいた公理と推論規則で命題体系を構築します。
