問題の背景と「公理」の定義
「系の中には必ず公理がある」という命題は、どんな体系（システム）にも出発点となる前提（公理）が必ず存在するかどうかを問うものです。ここで言う「公理」とは、体系の議論を始めるために証明なしに受け入れられる基本命題を指します[1]。公理は論理的に定式化された声明であり、他の命題を導く前提となりますが、それ自体の真理性が自明とは限りません[1]。多くの文脈で「公理」と同じ意味で「仮定」や「前提」という言葉も使われます[2]。要するに、公理とは「その体系では証明せずに最初から受け入れる基本仮定」です。
公理を明示的に定めて演繹を行う方法は公理的手法と呼ばれ、数学や論理学では基本的な方法論です。数学史においてはユークリッド以来、いくつかの基本的で良く知られた事柄（自明と考えられた命題）を公理として体系の他の命題を導く試みが行われてきました[1]。20世紀にヒルベルトらが数学を形式化して以来、形式体系では一連の公理集（公理系）を出発点として理論を構築することが強調されています[3]。
しかし、この命題をあらゆる分野に拡張した場合、果たして常に成り立つのでしょうか。例えば数学のように厳密に公理が規定される体系だけでなく、自然科学の理論、倫理や社会の制度、言語や思想の体系においても「出発点となる公理」は必ず存在すると言えるのかが問題です。本レポートでは、以下の各分野の体系ごとに命題の真偽を検討し、どの分野では「必ず公理がある」が真であり、どの分野では偽たり得るかを考察します。また各体系について、公理に該当するものの有無や役割、例外的なケース（公理が無い体系の可能性）についても論じます。
数学体系における公理
1. 概要と目的: 数学体系とは、数や図形など抽象概念についての命題を扱う形式的な理論の集まりです。数学の目的は、限られた基本原理から論理的推論によって様々な定理を導き、数学的真理の構造を解明することにあります。数学は古典的にはユークリッド幾何学に見られるように少数の基本前提から体系全体を導くというアプローチで発展してきました。現代数学では、集合論や数理論理学に基づき、厳密な定義と論理則によって理論を構築する形式体系が標準的です。
2. 公理に該当するものの有無: 数学体系には明確な公理が存在します。 事実、数学はしばしば公理的体系として構築されます[2]。例えばユークリッド幾何学では「2点間には直線を引ける」「すべての直角は等しい」等の公理（原論で言う「公準」も含む）を据えています。また、集合論ではツェルメロ–フレンケル公理系（ZF公理系）などの公理を基礎に据えています。公理系とは一つの形式体系で議論の前提となる公理の集まりであり、そこから論理的演繹によって定理を導きます[2]。数学のあらゆる理論（群論や位相空間論など各分野の体系）は、その理論固有の定義と公理（または公理に等価な公約数的前提）を持ちます[4][3]。例えば、群論では「結合法則」「単位元の存在」「逆元の存在」といった群の公理がその体系の出発点です。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 数学体系では命題「体系の中には必ず公理がある」は真と考えられます。 なぜなら、公理を全く持たない数学体系は定理を導く拠り所を欠き、内容の無い体系になってしまうからです。実際、任意の形式的証明体系では少なくとも一つの公理（または公理スキーマ）が無ければ何も証明できません[5]。公理とは証明無しに受け入れる基本命題なので、公理がゼロの場合、その体系内で新たな命題を導くことはできず、事実上“空の理論”になってしまいます。従って、非自明な結果を持つ数学理論で公理なしということはあり得ません。
4. 真とした場合の理由: 数学では公理的演繹によって体系的な知識を得ることが基本原則であり、これはヒルベルト以降の公理主義の伝統です[3]。各理論は基礎となるいくつかの独立な公理から出発し、公理から論理則によって導ける命題のみを定理として認めます[2]。このようにすることで、その体系内の命題はすべて公理に基づいており、体系の論理的一貫性や明晰さが保証されます。例えば、ユークリッド幾何学の体系では5つの公準（平行線公準を含む）を置き、それらから三角形の内角和が180度になる等の定理が証明できます[6]。20世紀以降は数学を集合論などで公理化し、全ての数学的命題を少数の公理から演繹できることが理想とされました[3]。このように、数学において公理は体系の出発点であり不可欠な構成要素です。
5. 体系内の前提の設定方法: 数学の公理はしばしば自明と考えられる法則や基本的な経験則から歴史的に選ばれてきましたが、現代では主に無矛盾性と独立性の要件で選定されます[7]。例えば、ユークリッドは「平行線公準」が他より自明でないことに気づきましたが、その後それを除いた非ユークリッド幾何学が発見され、公理の選択が体系を変える例となりました[8]。現代数学では、ある公理系の下で証明も反証もできない独立な命題を公理として追加することがあります[7]（例：選択公理はZF公理系では独立なので、公理として採用も棄却も可能[9]）。このように、公理の設定は論理的一貫性（無矛盾性）を保ちつつ、望む体系を展開できるように選ばれます。また数学では公理の集合は極力少なく簡潔であること、相互に独立であることが求められます[10]。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: 純粋に数学内部では、公理ゼロの体系は自明な論理的真理（例えば恒真命題）のみを含む退屈な体系になります。例えば、命題論理において空の公理セットのみでは、証明可能なのは論理的トートロジーに限られます。しかしそれも、通常は論理体系自体が持つ推論規則と公理スキーマによって支えられています[11][5]。したがって、非自明な内容を持つ数学体系で公理が存在しない例は基本的にありません。 強いて言えば、公理が暗黙の了解となっている体系（例えば初期の数学で暗黙の常識に依存していた部分）が考えられますが、それも分析すれば公理（もしくは公理に相当する暗黙の前提）が存在していたと言えます。結論として、数学体系では命題「系の中には必ず公理がある」は常に真であり、数学自体が公理なくして成り立たないと言えます。
ユークリッドの『原論』において公理（公準）を書き記す古代ギリシアの数学者の想像図。「点と点を直線で結べる」など、基本的な公理から出発して幾何学体系を構築した[12]。数学において公理は体系の土台となる。
形式論理体系における公理
1. 概要と目的: 形式論理体系とは、論理的推論の規則と原理を形式化した体系です。記号論理学（命題論理や述語論理など）はその代表であり、真理値や論理的妥当性を扱うことを目的としています。形式論理の体系では、自然言語の内容を抽象化し、論理式と推論規則に焦点を当てます。目的は、どの推論が正当かを形式的に定義し、妥当な推論によってのみ結論（定理）を導けるようにすることです。
2. 公理に該当するものの有無: 形式論理体系にも明確な公理（論理公理）が存在します。例えば古典命題論理のヒルベルト体系では、「$P \to (Q \to P)$」「$(P\to(Q\to R)) \to ((P\to Q) \to (P\to R))$」など幾つかの公理スキーマを設定し、モーダスポネンスなどの推論規則によって他の論理式を導きます。自然演繹の体系では初期に公理と呼ぶものは設定しない代わりに、基本ルールによって無前提で証明可能な定式（たとえば恒真式）を導ける場合があります。しかし、この場合でも事実上恒真命題が「論理的公理」の役割を果たしています。さらに、述語論理では「$\forall x P(x) \to P(t)$」のような論理公理スキーマがあり、これらが論理体系の出発点です。従って、形式論理体系にも証明の起点となる公理（または図式）が欠かせません。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 形式論理の体系においても、公理は必ず存在すると言えます（命題は真）。 論理学では時に「無公理で推論規則だけの体系」は可能か議論されますが、その場合でも何らかの形で原初的に認める論理式が存在します。例えば自然演繹では仮定を導入して証明を行い、その仮定を排除することができますが、最終的に無条件に証明された論理式（タウトロジー）は、その体系の論理的真理＝暗黙の公理と見なせます。一般に、形式体系で証明を行うには少なくとも一つの公理または原初的な推論原理が必要であり[5]、完全に何も与えずに証明を行うことはできません。したがって、論理体系も数学と同様に公理なしには成り立たないため、この命題は形式論理において真です。
4. 真とした場合の理由: 論理体系では推論規則と公理スキーマによって全ての定理が生成されます。公理は証明不要の原理として受け入れることで、他の論理式を演繹する土台となります[11]。例えば古典論理では三段論法などの推論を形式化する際、「Aならば(AまたはB)が成り立つ」のような原理を公理として組み込みます[13]。このような公理が無ければ、その原理自体を証明する必要が生じ無限後退に陥るため、議論が開始できません。無限遡及を避けるという観点からも、有限の公理集合を定めることが論理体系には不可欠なのです。ゲーデルの不完全性定理によれば、ある程度複雑な公理系では真偽が決定できない命題が存在しますが、それも公理系が存在して初めて議論される問題です。不完全性定理自体、基本的算術の公理系が仮定されています。このように、論理学でも公理は体系構築の基本要素であり、命題「必ず公理がある」は動かしがたい真理と言えます。
5. 体系内の前提・出発点の設定: 論理体系の公理は、直観的に明らかな論理法則を抽出して設定されます。例えば命題論理では日常的に妥当と考えられる推論（仮定した命題は常に自分自身を含意する、など）を形式化して公理スキーマとします。また、公理の選択には完全性と無矛盾性の要求があります[14][15]。すなわち、その公理系で論理的にすべての真なる式が導け（完全性）、かつ矛盾が導かれないようにします。公理は一意ではなく、同じ論理体系でも別の公理集合で構成可能です。例えば古典論理では排中律を公理として含める体系もあれば、公理に含めずに証明する体系もあります。しかしいずれにせよ、何らかの形で体系の基本前提を明示することになります。推論規則（例えばモーダスポネンス）は公理ではありませんが、それ自体体系に固有の受け入れ前提です。つまり形式論理では、公理と推論規則の両方が体系の出発点を形作っています。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: 純粋な推論ルールのみで公理を持たない形式体系を考えることもできますが、その場合証明可能な命題が極めて限定されるか、あるいは推論ルール自体が事実上の公理として機能します。例えば、「仮定なしで何も導かない」自然演繹体系を考えると、空の証明から直接得られるのは論理的トートロジーくらいです。それらは通常論理的真理として公理的な地位を持ちます。あるいは帰謬法などを使えば無公理から矛盾を導き出すこともできますが、矛盾から任意の命題を証明できてしまう（爆発原理）ため無意味です。歴史的には、アリストテレスは公理まで遡れない第一原理が必要と論じ、またヒルベルトは幾何学の公理化で明示的に公理を掲げました。このように、有意義な論理体系で公理ゼロという例は存在せず、必ず何らかの前提が組み込まれているのです。
自然科学における体系と公理
1. 概要と目的: 自然科学の体系とは、物理学・化学・生物学など自然現象を説明・予測するための理論体系を指します。自然科学の目的は、観察や実験によって得られた事実を整理し、法則やモデルによって統一的に説明することです。例えば物理学では力学や電磁気学の体系、生物学では進化論の体系などがあります。これらの体系では、経験的事実に基づき再現性のある法則を見出し、それを前提としてさらなる予測や説明を行います。ゆえに、自然科学の理論体系には経験に裏付けられた基本法則が中核となっています。
2. 公理に該当するものの有無: 自然科学の理論にも公理に相当する「基本原理」や「前提条件」が存在します。 もっとも、数学のように厳密な形式公理ではなく「実験的に確立した法則」や「基本仮定（postulate）」の形を取ります。例えば、ニュートン力学ではニュートンの運動の法則（慣性の法則、F=ma、作用反作用の法則）が体系の土台であり、ニュートン自身は著書『プリンキピア』でこれらを「Axiomata sive Leges Motus（公理、すなわち運動の法則）」と呼んでいます[16]。同様に、アインシュタインの特殊相対性理論は「光速度不変の原理」と「等価原理（慣性系の物理法則は同一）」の2つの基本仮定から構築されています[17]。これらは物理学における公理的前提と言えます。また、化学では元素の存在や原子論が暗黙の前提となり、生物学では進化の原理（自然選択）が基本仮定の一つです。さらに、科学的方法自体も「自然は一様である」「同一条件下で同一の結果が得られる」などの前提に依存しています。総じて、自然科学の理論体系には必ず何らかの基本前提（実証された法則や仮説）が含まれているのです[18]。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 自然科学においても多かれ少なかれ基本前提（公理的なもの）は存在するため、命題は概ね真であると考えられます。 ただし数学のように明示的に「必ずこれとこれが公理である」と定義されるわけではなく、経験に基づく前提が背景にあるという意味です。いかなる科学理論も、すべての事象を完全に観測データだけから演繹することはできず、どこかで「こう仮定すれば観測が説明できる」という仮説的前提を置きます。例えばビッグバン理論は宇宙の始まりに特異点から膨張が始まったと仮定しますし、量子力学では波動関数の確率解釈や測定公準を基本原理として採用します。これら前提なしに理論を組み立てることは不可能です。さらに、科学理論は自然言語や数学で記述されますが、その根底には論理法則や数学的公理（例えば幾何学的前提としてのユークリッド幾何）が使われており、間接的に公理に依存しています。従って「自然科学の体系には必ず公理的前提がある」と広く解釈すれば真と言えます。
しかし注意すべきは、科学における前提は絶対不変ではなく、経験により修正され得る点です。ニュートンの「絶対時間・絶対空間」という公理的前提は、アインシュタインにより否定され修正されました。同様に、古典物理の公理と思われたもの（例えばエネルギー保存則）は量子論や相対論で条件付きで修正されることがあります。このように、自然科学では公理（基本法則）は経験的検証を経ており、絶対的な真理としてではなく「現時点で最も確からしい前提」として採用されます[19][20]。
4. 真とした場合の理由／偽とした場合の反証: 命題を真と見る理由は、科学理論を構築するために観測から直接得られない部分を補う基本仮定がどうしても必要になるからです[21]。例えば、理論がどんなに観測データを元にしていても、理論の枠組み自体（座標系や測定の概念など）には人為的な設定が含まれます。何の前提もなくデータだけを記述することもできますが、それでは単なる記録で体系的な理解（法則の発見）は得られません。実際には科学者はデータのパターンから法則性を見出し、それを仮説として提示します。この仮説は証明されたわけではないですが、蓋然性が高いので理論の公理として採用するのです[22]。例えばマックスウェルは電磁気学でマクスウェル方程式を体系の基礎方程式（経験則に基づく公理）としましたし、ボーアは原子模型で量子仮説を基本仮定としました。
一方、命題を厳密に偽と見る立場としては、「科学理論は全て観測事実から帰納されるもので公理と呼ぶような恣意的仮定は無い」という見方が考えられます。しかし、この立場でも例えば帰納法それ自体が一種の前提原理です。哲学者ヒュームは経験的事実からは帰納法の正当性を論証できない（帰納の問題）と指摘しました。つまり、科学が帰納法を用いる以上「自然は一様である」等の暗黙の公理を仮定していることになります。この意味で、完全に公理なしの科学体系は成り立たないと言えます。反証例を挙げるなら、純粋にデータ駆動的な手法（例えば機械学習によるモデル構築）は一見公理なしに振る舞うように思えますが、そこでも学習アルゴリズムやモデル構造の仮定が存在します。例えば決定木モデルは「データはある基準で分割可能」という前提、ニューラルネットは「連続関数近似が可能」という前提に立っています。このように、どんな手法にも暗黙の前提があるため、「例外なく公理が存在する」と言って差し支えないでしょう。
5. 体系内の前提・出発点の設定: 自然科学では公理に当たる基本前提は、しばしば経験に支えられた法則として設定されます。具体的には、まず観測・実験により多数の事例が確認された経験則が見いだされます。次にそれを一般法則として定式化し、体系の基本とします。例えばケプラーの法則は惑星観測から得られましたが、ニュートンはそれを万有引力の法則という原理（公理）から説明できると示しました。このように上位の理論は下位の経験則を公理的に包含することもあります。また、現代の物理学では対称性原理や保存則が公理的地位を持つことがあります。エネルギー保存や光速一定は多数の検証から「原理（Principle）」として理論の出発点に据えられています。加えて、科学理論を構築する際には数学的枠組みを選ぶ必要があります。例えば相対性理論では非ユークリッド幾何学（ローレンツ多様体の時空）が理論の前提空間となっています[23][20]。この幾何学的前提自体は数学の公理系に他ならず、物理理論の公理に相当します[24]。ゆえに、科学体系内の前提は「経験的事実」＋「数学的形式」＋「概念上の仮定」から構成され、それらが理論の土台を成します。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: 自然科学に関して「公理がない体系」と言えるものがあるか考えてみます。一つの見方は、記述的なデータ集積は公理なしで可能だというものです。例えば天気予報モデルを持たずに観測データだけ逐一報告するやり方では、体系というより羅列です。この場合、「体系」と呼ぶには不十分でしょう。また、19世紀の博物学的アプローチでは、とにかく自然の事実を集め分類することが行われ、公理的理論づけが弱かったことがあります。しかしそれでも分類には基準（例えばリンネの分類体系では形態の類似性という暗黙の前提）がありました。
哲学的には、経験主義の極致として「事実の記録と関連付けだけで理論を構築する」という考えもありますが、実際には観測事実を何らかのモデルに当てはめる際に前提を用いています。例えば、統計学でモデルフリー解析を唱えても、統計的方法自体が「確率分布が存在する」という前提に依存します。また極端なケースとして、ポパー流の反証主義では理論は仮説の集合に過ぎず絶対的公理は無いとされます。しかしその場合でも、「理論とは反証可能な仮説で構成される」というメタ原理が公理のような役割を果たしています。結局、科学体系から公理（基本前提）を取り去ることは現実的ではなく、顕在的か潜在的かの違いがあるだけと言えます。したがって、「系の中には必ず公理がある」は自然科学では大筋で真ですが、公理が絶対視されず常に検証と更新の対象となる点で数学の公理とは性質が異なります。
倫理体系における公理
1. 概要と目的: 倫理体系とは、人間の行為の善悪や正しさを判断するための価値原理や規範の体系です。倫理学には功利主義、カント倫理、徳倫理など様々な理論がありますが、いずれも何を善と見なすか、どんな行為規則を基本とするかを定め、それに基づいて具体的状況での判断基準を導きます。倫理体系の目的は、一貫した価値判断の枠組みを与え、人々がどのように行動すべきか指針を示すことです。例えば功利主義体系では「最大多数の最大幸福」という理念がゴールであり、カント倫理では「定言命法に従うこと」が義務の基準です。こうした倫理理論も一種の体系として、その内部に基本前提が存在します。
2. 公理に該当するものの有無: 倫理体系にも、公理に相当する基本原則や価値判断の前提が存在します。 倫理学ではそれをしばしば基本命題や直観的原理などと呼びます。例えばイギリスの哲学者ヘンリー・シジウィックは倫理学における自明な原理（axioms of ethics）を論じており、「個々人の幸福は平等に価値を持つ」などの原則を挙げています[25]。具体的にシジウィックの「正義の公理」では「ある一人の善は他の人の善と同等に重要である」という命題が示されました[25]。このような原理は倫理体系の土台となる公理的命題です。また功利主義では「幸福は善である」「苦痛は悪である」といった基本価値が公理的に受け入れられています。カント倫理では「理性ある存在は目的それ自体として尊重されねばならない」という人間の尊厳の原理が基本にあります。これらは証明されない倫理的直観として与えられ、他の倫理規則を導く前提になっています。従って、主要な倫理理論は必ず何らかの最高原理（第一原理）を含みます。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 倫理体系においても基本原理（倫理的公理）は必ず存在すると考えられます（命題は真）。 理由は、「あるべき論（オウト）」を導くには少なくとも一つの価値判断の前提が要るためです。デイビッド・ヒュームが指摘したように、事実から規範を直接導く（「ある」という事実から「べき」という結論を出す）ことは論理的にできないため[21]、必ずどこかで「～すべきである」という判断基準を仮定に置かなければなりません。例えば「人を殺すのは悪い」という倫理判断を導くには、「人命は尊重すべき価値である」といった前提が必要です。この前提は他のより基礎的な原理から導けないなら倫理体系の公理となります。また異なる倫理理論同士を比較すると、それぞれ固有の公理に依っていることが分かります。功利主義は「快楽・幸福の価値」という公理に依存し、カントは「理性的存在の尊厳」という公理に依存します。少なくとも一つの根本価値を据えなければ倫理体系は成り立たないので、命題は真と言えます。
ただし倫理体系の場合、数学や論理と違い公理が明文化されていないこともあります。例えば社会通念上の倫理（いわゆる常識的道徳）は明確な原理を宣言しませんが、「誠実であるべき」「他人に危害を加えるべきでない」といった暗黙の道徳原理が存在します。これらも広い意味で公理とみなせます。従って体系的な倫理思想であれば必ず公理があるといえますが、人々が暗黙に共有する価値観という形で存在する場合もある点に注意が必要です。
4. 真とした場合の理由／偽とした場合の例外: 命題を真とする理由は上述の通り「価値判断には前提となる価値の設定が不可欠」という論理の要請です。どんな倫理議論も、議論の起点に「何を善・悪と見做すか」という判断基準が必要になります。この判断基準は究極的には証明できないため、直観的に受け入れるしかない性質のものです[25]。例えばシジウィックが提示した倫理公理：「どんな一人の幸福も、他の人の幸福と同じだけ重要である」[25]は、それ以上基本的な理由で証明できないが自明と認められる原理です。この原理を公理的に受け入れることで、功利主義の平等な配慮という結論が導かれます。
命題を偽と考える立場としては、「倫理には普遍的公理など無く、すべて相対的である」という倫理的相対主義が挙げられます。相対主義者は各社会や個人がそれぞれの価値観を持つだけで、共通の公理は無いと主張します。しかし、この相対主義の立場でも「道徳は相対的である」というメタ原理を前提としており、完全に前提なしとは言えません。さらに、相対主義から具体的行動指針を導くには「自文化の規範に従うべき」等の何らかの規則を暗に採用しています。これはやはり原理の一つと見なせます。また20世紀以降、一部の倫理思想家は倫理的基本直観を疑い、状況ごとに判断すべきだと説きました（モラル・パティキュラリズム等）。しかしこれも「一般原則より個別状況が優先」という判断基準を含んでおり、それがメタ公理となっています。このように、倫理に絶対的公理は無いという立場ですら、別の前提に依存しているのです。従って「公理が全く無い倫理体系」は実際には成立困難であり、命題の例外とまでは言えません。
5. 体系内の前提・出発点の設定: 倫理体系では、公理に当たる基本原則は様々な方法で設定されます。(a) 直観や自己証明的真理: シジウィックのように、深く考察すると論理的に明らかだと思われる原理（例えば「公平の原則」）を抽出する方法があります[26][25]。この場合、その原理自体は我々の道徳直観に訴えて正当化されます。(b) 合意や仮想的契約: 社会契約論的アプローチでは、皆が合意するであろう基本原則を公理とします。例えばロールズの正義論では「原初状態の人々が合意する正義の二原理」が公理的役割を果たします。(c) 上位理念からの演繹: 宗教倫理では「神の意志」や聖典の教えが最高原理（公理）として与えられます。例えばキリスト教倫理体系では「隣人愛」が根本原理です。あるいはマルクス主義倫理では歴史法則や階級闘争の理論が前提になっています。このように、各倫理体系はその体系の核となる価値や理念を公理的に据え、そこから他の規範を導くよう設計されています。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: 考え得るケースとして、一切の道徳原理を認めない立場（虚無主義・ニヒリズム）が挙げられます。倫理的ニヒリズムは「善悪の基準は存在しない」と主張するため、一見公理なき体系に見えます。しかし、ニヒリズム自体は「何も価値がない」という主張を信条としており、それが一種の否定的公理と捉えられます。またモラル・パティキュラリズム（道徳の特殊主義）は一般原則を否定しますが、逆に「原則一般の否定」という方針を公理視しています。さらに、近年のメタ倫理では道徳的アンチリアリズムの立場から「客観的な道徳真理は無い」とされますが、これも「客観的道徳真理の不存在」がメタレベルの公理です。従って、表面的に公理が無いように見える倫理観も、何らかの信念を基盤にしています。完全に公理を欠いた倫理体系は、何を判断基準に行動してよいか決められなくなるため、実用上も成り立ちません。したがって、倫理体系にも広義の公理が潜んでおり、命題は基本的に成り立つと言えます。
アメリカ合衆国憲法（1787年）の原本第一ページ。「We the People…」で始まる憲法は国の基本原則（公理）を定める社会制度の基盤文書である。合衆国憲法は国家の法体系の最高規範として、公理的な役割を果たす[15]。
社会制度における公理
1. 概要と目的: 社会制度の体系とは、国家や社会集団における法律・制度・規範の体系を意味します。例として法体系（立法・司法の枠組み）、政治体制（民主制や君主制）、経済制度（資本主義など）、教育制度や宗教制度などが挙げられます。これらの体系の目的は、社会を秩序立てて運営し、共同体の価値や目標を実現することです。例えば近代国家の法体系は、憲法を頂点とする法のピラミッド構造で社会秩序を維持することを目的とします。社会制度には成文化されたルールや手続きだけでなく、社会的価値観や理念も含まれており、これらが制度全体を方向づけています。
2. 公理に該当するものの有無: 社会制度においても、それを支える基本原理・基本価値（公理に該当するもの）が存在します。 典型例は憲法です。憲法は国家の根本法であり、他のすべての法律の根拠となる基本原則を定めています。例えば日本国憲法前文や第1条～第3条には国民主権、基本的人権の尊重、平和主義といった国家の基本理念が謳われています。これらは法体系の「公理」に相当します。また、アメリカ合衆国憲法は「人民による政府」「連邦主義」「権力分立」などの基本原則を規定しており[15]、これが合衆国の社会制度の土台です。一般に、成文化された憲法や基本法を持つ社会では、それが制度全体の前提となります[15]。さらに、明文化されない社会規範や倫理観もあります。例えば「嘘をついてはいけない」「契約は守るべきだ」といった社会通念は、法に書かれていなくとも法運用や制度設計の根底にあります。これらも広義には社会制度を支える公理的信念です。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 社会制度にも必ず基盤となる原理や価値が存在するため、命題は真とみなせます。 理由は、制度が無から任意に構築されることはなく、何らかの理念や目的を実現するために作られるからです。例えば民主主義制度は「人民の意思の尊重」という公理的価値に基づきますし、法の支配は「権力も法に従うべき」という基本原則に立脚します。もしそれらの原理がなければ、制度を正当化する根拠が無くなってしまいます。秩序を維持するための暗黙の了解すら無い社会では、制度が機能せず混乱が生じるでしょう。したがって、どの社会制度も何らかの基本コンセプトを前提としていると言えます。
ただし、社会制度における公理は数学のように明確・簡潔ではなく、多数の基本理念が併存する場合があります。例えば国家体制なら、自由・平等・博愛など複数の価値を同時に基礎に据えることもあります。また、歴史的経緯で制度が形成された場合、その根底にある価値が明文化されていないこともあります（例：英国には成文憲法が無く慣習法に依るが、それでもマグナ・カルタ以来の法の原理が公理的役割を果たしています）。それでも、それらの社会には「王も法に従う」「議会主権」等の根本原則が共有されています。従って、広い意味で社会的な体系には公理（基本原則）は必ず存在すると言えます。
4. 真とした場合の理由／偽とした場合の例外: 命題を真とする根拠は、社会秩序や制度には何らかの正統性の根拠が必要な点にあります。人々がその制度に従う理由として、背後にある基本価値への合意や権威づけが不可欠です。例えば、近代国家の正統性は「国民の同意」に基づくという社会契約説的な公理がありますし、伝統的君主制では「王権神授説」など宗教的公理が用いられました。そうした基本信念なしには、単なる暴力や権威に頼るしかなく、制度として安定しません。よって、制度の安定運用には共有された公理（基本理念）の存在が必須なのです。
一方、命題を偽とみなす見方としては、「社会制度は自生的秩序であり特定の公理から構成されるものではない」というものがあります。例えばオーストリア学派の経済学者ハイエクは、市場や法は人為的に設計されたのではなく自生的に進化したと説きます。この見解では、制度は誰かが公理を定めて作ったのではなく、試行錯誤の過程でできたと強調します。しかし自生的に進化した制度でも、長い時間をかけて根底に原理が醸成されているものです。例えば資本主義市場は自然発生的に生まれましたが、その継続のためには「所有権の尊重」「契約の履行」という公理的原理がいつの間にか確立しています。実際、それらが確立しなかった社会では市場は機能しませんでした。従って、「明示的に設計された公理」は無くても、「経験的に選別された公理」が存在するわけです。
例外らしい例外を挙げるなら、無政府状態（アナーキー）が一時的には公理なき社会と言えるかもしれません。強力な政府やルールが一切無い状況では、共通の公理原則が欠如します。しかし完全な無政府状態では長期的な秩序維持が難しく、人々は安全や財産を守るため自然とルール（私的な取り決めや慣習）を作ります。歴史上の無政府地帯でも、部族間の不文律や信用の規範が生まれていました。これは人間社会が安定を求める限り、何らかの規範を公理的に受け入れる傾向があることを示しています。したがって、無政府状態は長続きせず、早晩共有原理のある体制へ移行するでしょう。
5. 体系内の前提・出発点の設定: 社会制度では、基本原理は様々な形で設定・表明されます。(a) 憲法や基本法による明文化: 多くの国では憲法制定により、国の基本価値（自由・平等・人権など）を明文化します。これにより国民や政府は制度の公理を明確に認識できます[15]。例えば国連の世界人権宣言は国際社会の基本原則を宣言した文書で、人権尊重が各国の法体系の公理となることを目指しました。(b) 伝統や宗教による共有: 一方、成文化されない社会でも、宗教戒律や文化慣習が公理的役割を果たします。シャリーア法によるイスラム社会ではクルアーンの教えが最高原理ですし、慣習法社会では長年の習わし（コモンローの原理）が法体系の前提となります。(c) 理念や革命による提示: 新しい社会体制を作る際には、宣言や演説で基本理念が表明されます。例えばフランス革命の「人権宣言」や、アメリカ独立宣言の「自明の真理」としての平等や自由の宣言は、新国家の公理を示したものです。これらにより市民は制度の根本価値を理解し、新秩序への支持を固めました。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: 社会制度に関して、徹底的に公理を排除したデザインを試みた例として、一部のユートピア思想が挙げられます。例えば19世紀の空想的社会主義者は、人間の本性を完全に変える教育システムを構想し、既存の価値（私有財産など）を否定しました。しかし結局のところ彼らも「調和と平等」という新たな価値を軸にユートピアを設計しており、異なる公理に置き換えただけでした。また、アナーキズム思想では「一切の権威を否定し自由な個人の連合を志向する」という方向性があります。一見公理を否定していますが、「個人の自由こそ最大の価値」という中核的信条が存在します。つまり、どんな社会思想にも譲れない根本価値があるのです。
現実の社会制度で「公理がない」と言い得るものは見当たりません。無秩序状態は制度とは呼べず、必ず何かしら秩序原理が芽生えます。むしろ興味深いのは、公理が複数あって矛盾する社会です。現代の多元的社会では、自由や平等、安全、繁栄など複数の価値が追求され、ときに衝突します。立法や政策はそれら価値のバランスを図る試みと言えます。この状況は「公理がない」というより「公理が複数」であり、調整が必要なだけです。結局、社会制度には何らかの根本価値（単数か複数かは問わず）が存在し、それを公理として制度が組み立てられているのです。
言語体系における公理
1. 概要と目的: 言語体系とは、自然言語（日本語・英語など）や人工言語（エスペラント、プログラミング言語など）の文法規則と語彙の体系を指します。言語の目的は情報伝達や思考の表現であり、その体系は音や文字と意味の対応関係、文を構成する規則からなります。自然言語は歴史的・社会的に形成された体系であり、話者間で共有された文法（構文規則）と語彙（単語とその意味）によって成り立っています。人工言語の場合、設計者が明確な規則を定めます。いずれの場合も、言語体系は文を作るための基本ルールが存在します。
2. 公理に該当するものの有無: 言語体系には、公理に厳密に相当するものはありませんが、類比的にいえば「文法規則」や「基本語彙」が体系の前提となっています。自然言語では、公理のように明示的に「これが真だ」と宣言される文はありません。しかし、その言語の文法は証明不要の約束事として全員が受け入れているものです。例えば日本語では「基本的語順はSOV（主語-目的語-動詞）」といった文法規則がありますが、これは誰かが証明したものではなく共同体で暗黙裡に公理のごとく受け入れられているルールです。同様に、「犬」という語が特定の動物を指す、といった語彙の意味の対応も公理的取り決めです。言語学では生成文法の考え方で、人間の言語能力には普遍文法（Universal Grammar）という先天的原理があるとされます[27]。この普遍文法はすべての人間言語に共通する文法的公理の集合のようなもので、「主語と述語が存在する」「否定や疑問を表す規則がある」等の普遍的制約が含まれると考えられました。仮に普遍文法が実在するとすれば、それは言語体系全般の公理と言えるでしょう。一方、個別言語ごとの固有な規則（例えばフランス語の冠詞の性別一致規則）はその言語の公理的規範です。さらに、形式言語（プログラミング言語など）では文法規則と構文規則が厳密に定義され、証明なしに受け入れる前提となっています[28][11]。以上から、言語体系には明文化された公理こそないものの、それに相当する基本ルールが存在します。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 言語体系について命題を適用する場合、「必ず公理（基本ルール）がある」と広義には言えますが、厳密にはやや性質が異なります。自然言語は人為的に設計されたものではないため、公理が「誰かにより制定された基本真理」という形では存在しません。しかし、その言語体系を成り立たせている前提ルールは確かに存在し、それなしに言語活動はできません。例えば文法が全く存在しなければ、人は好き勝手な順序で単語を発し意思疎通できなくなります。現実には子供は成長の中で言語の文法と語彙を習得し、大人はその規則に従って会話します。この意味で「言語活動を可能にする隠れた前提」は必ずあります。したがって命題を「文法・語法という前提は必ずある」と解釈すれば真と言えるでしょう。
一方で、「公理」の語から連想される厳密な真理というニュアンスを当てはめると、自然言語にはそれが無いとも言えます。なぜなら、言語の規則は数学の公理と違い真偽の問題ではなく恣意的な約束だからです。例えば英語では単数現在三人称に動詞に「-s」を付けますが、これは論理必然ではなく慣習的ルールです。しかし慣習であっても、一度規範として定着すれば話者にとっては疑いなく従うべき前提となります（誰もそれを一々証明したりしません）。この状態は、ちょうど公理が証明不要の前提として受け入れられているのに似ています。つまり、自然言語の文法規則は利用者共同体にとっては公理のような役割を果たしているのです。
4. 真とした場合の理由／偽とした場合の例外: 命題を真とみなす理由は、言語は体系である以上必ず共通の前提を要することにあります。もし話者ごとに勝手な文法や単語を使えば、それはもはや共通言語ではなく意思疎通はできません。したがって言語体系には全員が共有する規則の核が必須です。この共有規則は誰かが論証して定めたものではなく人々の合意または習慣で成立したものですが、その体系内では不文律の公理です。
一方、命題をそのままの意味で偽と考えるとすれば、「自然言語は厳密な公理体系ではないので、公理が無くても運用できる」と見る立場でしょう。確かに自然言語は形式体系ではなく、文法例外や不規則変化も多々あり、公理というよりゆらぎのあるルールです。しかしそれでも、基盤となる文法構造（例えば主語・述語の区別や時制の概念）が無ければ言語は成立しません。よって完全に公理無しで良いとは言えません。例外的に、公理的規則を持たない言語コミュニケーションの形として、即興的なピジン言語（異なる言語話者同士が急場で作る簡易言語）が考えられます。ピジンでは統一文法が定まらず文型が揺れ動きます。しかし世代を経てクレオール言語になると、そこには新たな文法体系（つまり新たな公理ルール）が確立します。これは言語体系が安定するためには基本ルールが必要であることを示唆します。従って、短期的・臨時的には「公理なき言語」もあり得ますが、持続的な体系とは言えず、長期的には公理（規則）を備えた体系に移行します。
5. 体系内の前提・出発点の設定: 自然言語では、基本前提（文法規則・語彙）は人為的に設定されたものではなく、歴史的・文化的進化の中で形作られます。例えば日本語の文法は奈良時代から平安時代にかけて成立し、その後も変化していますが、特定の時点で「公理宣言」されたわけではありません。しかし学校教育などを通じて規範文法が定められ、人々はそれを規則として学びます。一方、人工言語の場合、設計者が明示的に公理的ルールを設定します。例えばエスペラントでは16か条の文法が基本規則として提示され、それ以外の例外は無いとされました。プログラミング言語でも、仕様書に「文法（BNFなどで定義）」と「意味論」が書かれ、これがその言語体系の公理となっています[11]。また言語学の理論では、チョムスキーの生成文法が形式文法（文脈自由文法など）の公理を用いて言語能力をモデル化しました[29][30]。生成文法では文法規則を公理的に与え、推論規則に相当する「変形規則」等で文を導きます。このように、言語体系の前提は(自然言語の場合)漸次形成されたルールとして、(人工言語の場合)設計者による宣言として設定されます。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: 既に触れたピジン言語は公理的文法が未確立なため、「文法の公理がほぼ無い言語体系」と言えるかもしれません。しかしピジンも、基本的語順や指差し語のような最低限の取り決めは存在します。それらが無ければ意思疎通できないので、やはり暗黙の公理はあります。また、まったく規則が無い言語は「言語」と呼べません。仮にSF的発想で、通信のたびに毎回別のルールを使うエイリアンがいたとすれば、それは我々の言う「体系」にはなり得ず、安定したコミュニケーション手段にはならないでしょう。結局、言語とはパターン（規則）の集合であり、それが無ければ体系にならないのです。
別の観点では、「言語における公理」を論理や数学の言語に求めることもできます。例えば一階述語論理の形式言語は、記号の構成規則や公理式が定義されています。これは言語というより推論体系ですが、言語的側面から見れば「記号列が文として認められるための公理」があります[28]。この意味では、形式言語には公理が明確に存在します。一方、自然言語は形式化されていないため公理的分析が難しいですが、近年はオントロジーや意味ネットワークにより、意味論的な公理（例えば「全ての鳥は動物である」といった概念間の基本関係）を定義する試みもあります。これらは知識体系に近いですが、広義には言語と知識の体系の公理化です。
結論として、言語体系から公理（基本規則）を完全に排除した例は存在せず、言語が体系である限り何らかのルール前提が伴います。ただし、その前提は自然言語では暗黙知の形で存在するため、公理という言葉のイメージとは異なるかもしれません。命題「系の中には必ず公理がある」は言語の分野では厳密には適用しにくいものの、「体系をなすための基本ルールは必ずある」と読み替えれば真と言えるでしょう。
思想体系（イデオロギー）における公理
1. 概要と目的: 思想体系とは、哲学的立場・イデオロギー・宗教的信念など観念や価値の一貫した枠組みを指します。例として、自由主義・社会主義・保守主義などの政治思想、あるいは仏教やキリスト教といった宗教思想、はたまた実存主義や功利主義といった哲学思想が挙げられます。これらの体系の目的は、世界の捉え方や人間のあるべき姿に関する包括的なビジョンを提供することです。思想体系は人々の判断や行動に深く影響を与え、社会運動や文化にも反映されます。一貫した思想体系は、内部に基本信条を持ち、それを土台に他の見解を展開します。
2. 公理に該当するものの有無: 思想体系には、公理に相当する中心的信念・ドグマが存在します。 たとえば宗教において、それは教義や信条という形を取ります。キリスト教であれば「唯一神の存在」「イエスは神の子である」といった核心教義があり、これは信者にとって証明を要しない前提的真理です。イスラム教でも「アッラーの他に神は無い」という信仰告白が絶対の前提です。こうした宗教上のドグマ（教条）はまさに公理的な役割を果たします。他の思想を見ても、自由主義は「個人の自由は最も大切」という基本価値があり、マルクス主義は「経済的な生産関係が社会を規定する（唯物史観）」という前提を持ちます。保守主義は「伝統と秩序は尊重すべき」という信条を出発点にしますし、フェミニズムは「男女は平等であるべき」という基本理念から議論を展開します。さらに、哲学体系でもデカルトの合理主義は「明晰判明な原理は真である」という公理に依存し、経験論は「知識は感覚経験に由来する」という基本仮定を置きます。このように、どの思想・イデオロギーにも中核となる前提信念があるのです。それらは議論の前提として置かれ、多くの場合問い直されません。
3. 「必ず存在する」と言えるか: 思想・イデオロギー体系でも、基本信念（公理）が必ず存在すると言えます（命題は真）。 なぜなら、全く何も信じない（何も前提を置かない）立場というのは思想体系として成立しないからです。思想体系とは通常、世界や人間についての一定の前理解を持ち、それに基づいて様々な主張を組み立てます。その前理解こそが公理に当たります。例えば、ニーチェの虚無主義哲学は「絶対的な真理や価値は存在しない」という信念から出発しますが、この「無価値の真理」が彼の体系の公理と言えます。同様に、プラグマティズムは「真理の有用性」を根本に据え、ヘーゲル哲学は「絶対精神の自己展開」という公理的構図を持ちます。思想体系は複雑であっても、中核に据えたテーゼがあり、それをもとに他のテーゼが組織化されています[31]。この中核テーゼは通常、その体系独自のもので、他体系の前提とは相容れないことも多いです。歴史上、思想の対立は基本公理の違いから来る場合がしばしばあります（例：自由 vs 平等の価値対立、唯物論 vs 観念論の対立など）。
4. 真とした場合の理由／偽とした場合の例外や反証: 命題を真とする理由は、知識や信念の体系には必ず出発点が必要であり、それなくしては無限後退に陥るためです。哲学の認識論ではムンチャウゼンのトリレンマ（知識の正当化は無限連鎖・円環論・独断的停止のいずれかを選ぶしかない）という問題が指摘されています。多くの哲学体系はこのトリレンマを解決するために独断的停止、すなわち「これ以上遡れない基本原理」を設定します。それが公理です。例えばデカルトは「我思う、ゆえに我あり」を疑い得ない真理として据えましたし、カントは人間理性の構造（時間空間やカテゴリー）を認識の前提と置きました。これらは各思想体系の根幹となる公理です。思想体系同士の議論では、相手の公理を認めない限り平行線になることが多いのも、各体系がそれぞれ独自の公理を持つためです。
命題を偽とみなす見解としては、「知の体系に絶対的基礎は不要で、全体の整合性だけでよい」という整合主義（コヒーレント主義）が挙げられます[32]。コヒーレント主義は、信念体系は蜘蛛の巣のように相互に支え合っており、独立した基礎（公理）は無いとします。しかし、コヒーレントな体系を作る際にも論理法則や経験そのものを信頼する前提が必要です。例えば「全体の整合性こそ真理の基準」という主張自体が一つの公理的スタンスです。また、多くのコヒーレント主義者も「経験的入力はある程度与えられる」という前提を置いています。完全に独立の公理を否定するなら、すべての信念が循環的に支え合うモデルになりますが、それは実際には何らかの小さな循環の塊（ミニ公理集団）に分解できます。現実の人間の認知では、全く何も前提をもたずに推論することは不可能で、言語・概念・論理などのフレームワークを暗黙の前提としています。
さらに、ポストモダン的思想では大きな物語の終焉が宣言され、絶対的普遍原理は存在せず文脈依存の語りだけがあるとされました。しかし、この立場自体も「普遍はなく文脈が全て」というメタ原理を有しています。つまり、「公理など存在しない」という主張も一種の公理になってしまうのです。このようなメタ的自己言及の罠もあり、思想体系から完全に公理を排除することは困難です。従って、ほとんどの思想体系には明示的であれ暗黙であれ公理があると考えられます。
5. 体系内の前提・出発点の設定: 思想体系の公理（基本信念）は様々な経緯で設定されます。(a) 啓示や直観: 宗教では預言者や聖人への啓示を通じて基本教義が定められます。例えばモーセの十戒やムハンマドへのコーランの啓示がそれです。哲学者も時に「理性の直観」により基本原理を掴んだと述べます。プロティノスは一者の直観を語り、フッサールはエポケーによる本質直観を語りました。(b) 理論的必然からの導入: ある体系を完成させるために基本公理を仮定する場合もあります。例えばユークリッド原論を模倣して倫理体系を組み立てたスピノザは、まず「実体は自己原因である」などの定義・公理を置き、それから倫理命題を幾何学的に演繹しました。このように他分野の方法を借用して公理を定めることもあります。(c) ポレミカルな宣言: 政治的イデオロギーでは、マニフェストや宣言により基本信念を明示することがあります。例えば共産主義者の宣言は「万国の労働者よ、団結せよ」というスローガンで終わりますが、その前提には「階級闘争が歴史発展の原動力」という公理が横たわっています。ナショナリズムも「民族という実体があり、それが価値を持つ」との前提を宣言します。
思想体系では、一度確立した公理は内部では教条化する傾向があります。他者から見ればそれは単なる思い込みに見えるかもしれませんが、体系内部では疑う余地のない真理として機能します。例えば冷戦期のイデオロギー対立では、お互いの公理（資本主義の自由市場信念 vs 社会主義の計画経済信念）を相手は受け入れず、対話が難航しました。このように、公理の設定は思想体系のアイデンティティそのものと言え、しばしば感情的・社会的要因とも結びつきます[31]。
6. 「公理がない体系」の可能性や例: コヒーレント主義的立場やポストモダン思想については既に述べましたが、あえて「公理なき思想体系」を目指した動きもあります。一つは懐疑主義です。古代ギリシャのピュロン主義は、いかなる信念も採用せず判断停止（エポケー）することを理想に掲げました。彼らは「何も確実なものは無い」という立場を取り、可能な限りどんな主張にも反論を与えて信念の停止を図りました。しかし完全な懐疑を実践することは難しく、日常生活では常識に従わざるを得ません。結局、懐疑主義者も「判断停止すべきだ」という指針を持っており、これが公理的です。現代でも徹底した懐疑論や認識論的無政府主義（フェイアラーベントの「何でもあり」）がありますが、「方法の多元主義が望ましい」という信念が基礎にあります。
また、20世紀の論理実証主義は「形而上学的命題には意味が無い」という公理を置き、経験的検証可能性の原理を重視しました。彼らは体系から形而上学的前提（隠れた公理）を排除しようとしましたが、そのために却って「検証原理」という公理を新設することになりました。このように、ある公理を排除するときは別の公理を用いているのです。
まとめると、思想体系において全く公理（基本信念）が無いというケースは、人間の有限な認識能力を考えると事実上存在しません。我々は何らかの前提をもって世界を見る以上、思想には常に出発点があります。従って、命題「系の中には必ず公理がある」は思想の領域でもほぼ真と言えるでしょう。ただし、思想体系の場合は公理が互いに競合したり主観的に選択されるため、公理の相対化や多様な公理系の並立が生じる点が特徴です。
分野ごとの検討結果まとめと全体結論
以上、多様な分野の体系について「必ず公理があるか」を検討しました。その結果を簡潔に表にまとめます。
| 体系の分野 | 公理に該当するもの | 命題「必ず公理がある」の真偽 | コメント（理由や例外） |
| 数学体系 | ユークリッド幾何の公理、集合論の公理など[13] | 真[1] | 明示的に公理が規定される。公理無くして定理なし。例外なし。 |
| 形式論理 | 論理公理（例：$P \to (Q \to P)$）[13] | 真[11][5] | ヒルベルト体系等で公理を設定。無公理ならトートロジーのみ。 |
| 自然科学 | 基本法則・原理（例：力学の法則、相対論の公理）[16][17] | 概ね真[16] | 理論には基本仮定が必要。ただし経験的検証で修正され得る。 |
| 倫理体系 | 最高原則・価値（例：最大幸福原理、定言命法）[25] | 真 | 倫理判断には価値前提が不可欠。相対主義もメタ前提を含む。 |
| 社会制度 | 基本法（憲法）・社会理念（例：人権、主権）[15] | 真 | 制度の正統性に基本原理が必要。無原理の無政府は長続きしない。 |
| 言語体系 | 文法規則・語彙対応（例：語順、語形変化） | 広義では真 | 暗黙の規則が必ずある。公理と呼ぶほど厳密でないが不可欠。 |
| 思想体系 | 根本信条・教義（例：一神教義、唯物史観） | 真 | 思想には出発点となるテーゼが必要。公理否定も別公理を導入。 |
（表：各体系における公理の存在と命題の真偽）[31][15]
最後に、命題「系の中には必ず公理がある」について総合的な結論を述べます。
- 数学・論理の形式体系では、この命題は厳密に真であり、体系定義上公理が不可欠です。ここでの公理は明確に規定され、体系の健全性（無矛盾性）の前提となっています[1]。
- 自然科学では、命題は概ね真といえますが、公理は「絶対真理」ではなく仮説的・経験的性格を帯びています。科学理論には基本法則という公理的前提が必要ですが、それらは常に検証と更新の対象です[20]。したがって、公理はあるものの可謬的（誤りうる）公理とも表現できます。
- 倫理体系・社会制度・思想体系でも、この命題は基本的に真です。なぜなら、人間が構築する価値や制度には何らかの共有前提が無いと成り立たないからです。倫理では善悪の前提価値、社会では憲法等の基本原理、思想では中核の信条がそれに当たります。これらは各体系の同一性を決定し、内部では公理として機能します[15]。例外的に、公理を否定する思想もありますが、その否定の立場自体が一種の基本前提となるため、厳密には「公理がゼロ」という体系は見当たりません。
- 言語体系は特異なケースですが、体系という以上基盤ルール（文法・語彙）は必須なので、広い意味で命題は真とみなせます。ただし言語の公理は暗黙知であり、「真偽を問う命題」というより「有効な取り決め」に近いものです。
以上を踏まえると、「系の中には必ず公理がある」はほとんどの分野で妥当する命題です。特に、明示的に体系が定義される分野（数学・論理・法制度など）では厳密に成り立ち、人間や社会に関わる柔軟な体系（科学・倫理・言語・思想）でも本質的に成り立つと結論づけられます。後者の分野では公理の形態が明文化された原理ではなく暗黙の前提や可変的仮説であるため、公理という語のニュアンスに差はあります。しかし、「体系的思考や秩序には出発点となる前提が必要」という点は共通しています[21]。
この考察から浮かび上がるのは、いかなる知識体系や制度であれ、人間がそれを認識し運用する以上、何らかの前提なしには動かないということです。言い換えれば、公理（基礎）なき体系は構想しにくく、構想できても持続しないでしょう。ゆえに本命題は汎領域的に妥当すると言えます。ただし、それぞれの分野で公理の性格（不変か可変か、明示か暗黙か）は異なるため、公理の扱いには慎重さも必要です。
最後に、体系の公理を自覚することはその体系の限界や前提条件を理解することでもあります[1]。例えばユークリッド幾何の公理を疑うことで非ユークリッド幾何が生まれ、古典物理の前提を覆すことで相対論が生まれました。同様に社会理念の公理（価値観）を問い直すことで改革や思想の転換が起こります。したがって、「必ず公理がある」という命題の逆説的な含意として、「どんな体系もその公理選択によって特徴づけられ、他の選択も理論上可能である」という点が挙げられます[23][20]。公理は不可欠ですが不変ではない場合もあり、その選択には多様性があり得ます[8]。これは体系の多元性を認める態度につながります。
結論: ほぼ全ての体系には何らかの公理（前提）が存在し、命題「系の中には必ず公理がある」は一般的に真である。ただし、公理の明示性・不変性は分野により異なる。また公理が存在するからこそ、その体系の論理的一貫性が保たれる一方で、公理の選択次第で異なる体系も成立し得ることに留意すべきである[8][23]。
参考文献・出典: 公理の定義と数学における例[2][13]、形式体系における公理の必要性[11][5]、ニュートン力学と相対論の基本原理[16][17]、シジウィックの倫理公理[25]、憲法と法体系の関係[15]、思想体系における公理の社会的重要性[31]など。各分野の詳細は各節の該当箇所の出典を参照してください。
[1] [2] [3] [4] [6] [7] [8] [9] [12] [13] 公理 – Wikipedia
[5] [11] [28] [30] Formal language
[10] [18] [21] [22] [31] Axiomatic Truth Part 1 – Exploring Truth, Belief and Pragmatism
[14] [15] Vitaly Ogleznev & Valeriy Surovtsev, The Constitution as an Axiomatic System – PhilPapers
[16] Translating Newton’s Principia – Newton’s Principia: Translation, Beneath the Surface
[17] Postulates of special relativity – Wikipedia
[19] [20] [23] [24] Symposium on Bayne, “On the axiomatic foundations of the integrated information theory of consciousness” — The Brains Blog
[25] [26] ME Book 3 Chapter 13 Section 3
[27] Universal grammar – Wikipedia
[29] [PDF] Chapter 8 – Formalism, grammatical rules, and normativity
[32] Coherentism – Wikipedia
